გადაწყვიტეთ {l}{6x-2y=4}{y=5x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 2 y = 4 } \\ { y = 5 x + 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{19}{2} = -9\frac{1}{2} = -9.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$y-5x=3$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$6x-2y=4$$

მიუმატეთ 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=2y+4$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{1}{6}\left(2y+4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{6}-ზე 4+2y.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2+y}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, -5x+y=3.

$$-5\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+y=3$$

გაამრავლეთ -5-ზე \frac{2+y}{3}.

$$-\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}+y=3$$

მიუმატეთ -\frac{5y}{3} y-ს.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}=3$$

მიუმატეთ \frac{10}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{2}{3}y=\frac{19}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{2}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{19}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{19}{2}-ით y აქ: x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{3}\left(-\frac{19}{2}\right)+\frac{2}{3}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -\frac{19}{2} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{19}{6}+\frac{2}{3}$$

მიუმატეთ \frac{2}{3} -\frac{19}{6}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-\frac{5}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$y-5x=3$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&-\frac{-2}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{5}{4}\times 4-\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{19}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$y-5x=3$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

იმისათვის, რომ 6x და -5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე.

$$-5\times 6x-5\left(-2\right)y=-5\times 4,6\left(-5\right)x+6y=6\times 3$$

გაამარტივეთ.

$$-30x+10y=-20,-30x+6y=18$$

გამოაკელით -30x+6y=18 -30x+10y=-20-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-30x+30x+10y-6y=-20-18$$

მიუმატეთ -30x 30x-ს. პირობები -30x და 30x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$10y-6y=-20-18$$

მიუმატეთ 10y -6y-ს.

$$4y=-20-18$$

მიუმატეთ -20 -18-ს.

$$4y=-38$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$y=-\frac{19}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{19}{2}-ით y აქ: -5x+y=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-5x-\frac{19}{2}=3$$

მიუმატეთ \frac{19}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5x=\frac{25}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$x=-\frac{5}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$