გადაწყვიტეთ {l}{6u+4v=5}{9u-8v=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 u + 4 v = 5 } \\ { 9 u - 8 v = 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა u, v-ისთვის

$$u=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$v=\frac{1}{4}=0.25$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი u-ისთვის, u-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$6u+4v=5$$

გამოაკელით 4v განტოლების ორივე მხარეს.

$$6u=-4v+5$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$u=\frac{1}{6}\left(-4v+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{6}-ზე -4v+5.

$$u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6}-ით u მეორე განტოლებაში, 9u-8v=4.

$$9\left(-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}\right)-8v=4$$

გაამრავლეთ 9-ზე -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6}.

$$-6v+\frac{15}{2}-8v=4$$

მიუმატეთ -6v -8v-ს.

$$-14v+\frac{15}{2}=4$$

გამოაკელით \frac{15}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-14v=-\frac{7}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით -14-ზე.

$$v=\frac{1}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{4}-ით v აქ: u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ u.

$$u=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{3}-ზე \frac{1}{4} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$u=\frac{-1+5}{6}$$

მიუმატეთ \frac{5}{6} -\frac{1}{6}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$u=\frac{2}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-4\times 9}&-\frac{4}{6\left(-8\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{6\left(-8\right)-4\times 9}&\frac{6}{6\left(-8\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{28}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 5+\frac{1}{21}\times 4\\\frac{3}{28}\times 5-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - u და v.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

იმისათვის, რომ 6u და 9u ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 9-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე.

$$9\times 6u+9\times 4v=9\times 5,6\times 9u+6\left(-8\right)v=6\times 4$$

გაამარტივეთ.

$$54u+36v=45,54u-48v=24$$

გამოაკელით 54u-48v=24 54u+36v=45-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$54u-54u+36v+48v=45-24$$

მიუმატეთ 54u -54u-ს. პირობები 54u და -54u გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$36v+48v=45-24$$

მიუმატეთ 36v 48v-ს.

$$84v=45-24$$

მიუმატეთ 45 -24-ს.

$$84v=21$$

ორივე მხარე გაყავით 84-ზე.

$$v=\frac{1}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{4}-ით v აქ: 9u-8v=4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ u.

$$9u-8\times \frac{1}{4}=4$$

გაამრავლეთ -8-ზე \frac{1}{4}.

$$9u-2=4$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9u=6$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$u=\frac{2}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$