გადაწყვიტეთ {l}{6+2a+b=0}{24-4a+b=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 + 2 a + b = 0 } \\ { 24 - 4 a + b = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a=3$$

$$b=-12$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2a+b+6=0$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2a+b=-6$$

გამოაკელით b განტოლების ორივე მხარეს.

$$2a=-b-6$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$a=\frac{1}{2}\left(-b-6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -b-6.

$$a=-\frac{1}{2}b-3$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{b}{2}-3-ით a მეორე განტოლებაში, -4a+b+24=0.

$$-4\left(-\frac{1}{2}b-3\right)+b+24=0$$

გაამრავლეთ -4-ზე -\frac{b}{2}-3.

$$2b+12+b+24=0$$

მიუმატეთ 2b b-ს.

$$3b+12+24=0$$

მიუმატეთ 12 24-ს.

$$3b+36=0$$

გამოაკელით 36 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3b=-36$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$b=-12$$

ჩაანაცვლეთ -12-ით b აქ: a=-\frac{1}{2}b-3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-12\right)-3$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე -12.

$$a=6-3$$

მიუმატეთ -3 6-ს.

$$a=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=3,b=-12$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2-\left(-4\right)}&\frac{2}{2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-6\right)-\frac{1}{6}\left(-24\right)\\\frac{2}{3}\left(-6\right)+\frac{1}{3}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-12\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=3,b=-12$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

გამოაკელით -4a+b+24=0 2a+b+6=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2a+4a+b-b+6-24=0$$

მიუმატეთ b -b-ს. პირობები b და -b გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2a+4a+6-24=0$$

მიუმატეთ 2a 4a-ს.

$$6a+6-24=0$$

მიუმატეთ 6 -24-ს.

$$6a-18=0$$

მიუმატეთ 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6a=18$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$a=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით a აქ: -4a+b+24=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ b.

$$-4\times 3+b+24=0$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$-12+b+24=0$$

მიუმატეთ -12 24-ს.

$$b+12=0$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$b=-12$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=3,b=-12$$