გადაწყვიტეთ {l}{500=10k+b}{900=20k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 500 = 10 k + b } \\ { 900 = 20 k + b } \end{array} \right.$$

ამოხსნა k, b-ისთვის

$$k=40$$

$$b=100$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$10k+b=500$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$20k+b=900$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$10k+b=500,20k+b=900$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი k-ისთვის, k-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$10k+b=500$$

გამოაკელით b განტოლების ორივე მხარეს.

$$10k=-b+500$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$k=\frac{1}{10}\left(-b+500\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{10}-ზე -b+500.

$$k=-\frac{1}{10}b+50$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{b}{10}+50-ით k მეორე განტოლებაში, 20k+b=900.

$$20\left(-\frac{1}{10}b+50\right)+b=900$$

გაამრავლეთ 20-ზე -\frac{b}{10}+50.

$$-2b+1000+b=900$$

მიუმატეთ -2b b-ს.

$$-b+1000=900$$

გამოაკელით 1000 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-b=-100$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$b=100$$

ჩაანაცვლეთ 100-ით b აქ: k=-\frac{1}{10}b+50. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ k.

$$k=-\frac{1}{10}\times 100+50$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{10}-ზე 100.

$$k=-10+50$$

მიუმატეთ 50 -10-ს.

$$k=40$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$k=40,b=100$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$10k+b=500$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$20k+b=900$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$10k+b=500,20k+b=900$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-20}&-\frac{1}{10-20}\\-\frac{20}{10-20}&\frac{10}{10-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 500+\frac{1}{10}\times 900\\2\times 500-900\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\100\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - k და b.

$$k=40,b=100$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$10k+b=500$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$20k+b=900$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$10k+b=500,20k+b=900$$

გამოაკელით 20k+b=900 10k+b=500-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$10k-20k+b-b=500-900$$

მიუმატეთ b -b-ს. პირობები b და -b გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$10k-20k=500-900$$

მიუმატეთ 10k -20k-ს.

$$-10k=500-900$$

მიუმატეთ 500 -900-ს.

$$-10k=-400$$

ორივე მხარე გაყავით -10-ზე.

$$k=40$$

ჩაანაცვლეთ 40-ით k აქ: 20k+b=900. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ b.

$$20\times 40+b=900$$

გაამრავლეთ 20-ზე 40.

$$800+b=900$$

გამოაკელით 800 განტოლების ორივე მხარეს.

$$b=100$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$k=40,b=100$$