გადაწყვიტეთ {l}{50x+y=200}{60x+y=260}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 x + y = 200 } \\ { 60 x + y = 260 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=6$$

$$y=-100$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$50x+y=200$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$50x=-y+200$$

ორივე მხარე გაყავით 50-ზე.

$$x=\frac{1}{50}\left(-y+200\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{50}-ზე -y+200.

$$x=-\frac{1}{50}y+4$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{50}+4-ით x მეორე განტოლებაში, 60x+y=260.

$$60\left(-\frac{1}{50}y+4\right)+y=260$$

გაამრავლეთ 60-ზე -\frac{y}{50}+4.

$$-\frac{6}{5}y+240+y=260$$

მიუმატეთ -\frac{6y}{5} y-ს.

$$-\frac{1}{5}y+240=260$$

გამოაკელით 240 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{1}{5}y=20$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -5-ზე.

$$y=-100$$

ჩაანაცვლეთ -100-ით y აქ: x=-\frac{1}{50}y+4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{50}\left(-100\right)+4$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{50}-ზე -100.

$$x=2+4$$

მიუმატეთ 4 2-ს.

$$x=6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=6,y=-100$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{50-60}&-\frac{1}{50-60}\\-\frac{60}{50-60}&\frac{50}{50-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 200+\frac{1}{10}\times 260\\6\times 200-5\times 260\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-100\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=6,y=-100$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

გამოაკელით 60x+y=260 50x+y=200-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$50x-60x+y-y=200-260$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$50x-60x=200-260$$

მიუმატეთ 50x -60x-ს.

$$-10x=200-260$$

მიუმატეთ 200 -260-ს.

$$-10x=-60$$

ორივე მხარე გაყავით -10-ზე.

$$x=6$$

ჩაანაცვლეთ 6-ით x აქ: 60x+y=260. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$60\times 6+y=260$$

გაამრავლეთ 60-ზე 6.

$$360+y=260$$

გამოაკელით 360 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-100$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=6,y=-100$$