გადაწყვიტეთ {l}{5y+2y=3x-2y/4}{y+4x/3=1-2y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y + 2 y = \frac { 3 x - 2 y } { 4 } } \\ { \frac { y + 4 x } { 3 } = 1 - 2 y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=\frac{30}{47}\approx 0.638297872$$

$$y=\frac{3}{47}\approx 0.063829787$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 4-ზე.

$$20y+8y=3x-2y$$

დააჯგუფეთ 20y და 8y, რათა მიიღოთ 28y.

$$28y=3x-2y$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$28y-3x=-2y$$

დაამატეთ 2y ორივე მხარეს.

$$28y-3x+2y=0$$

დააჯგუფეთ 28y და 2y, რათა მიიღოთ 30y.

$$30y-3x=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$y+4x=3-6y$$

დაამატეთ 6y ორივე მხარეს.

$$y+4x+6y=3$$

დააჯგუფეთ y და 6y, რათა მიიღოთ 7y.

$$7y+4x=3$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$30y-3x=0,7y+4x=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$30y-3x=0$$

მიუმატეთ 3x განტოლების ორივე მხარეს.

$$30y=3x$$

ორივე მხარე გაყავით 30-ზე.

$$y=\frac{1}{30}\times 3x$$

გაამრავლეთ \frac{1}{30}-ზე 3x.

$$y=\frac{1}{10}x$$

ჩაანაცვლეთ \frac{x}{10}-ით y მეორე განტოლებაში, 7y+4x=3.

$$7\times \frac{1}{10}x+4x=3$$

გაამრავლეთ 7-ზე \frac{x}{10}.

$$\frac{7}{10}x+4x=3$$

მიუმატეთ \frac{7x}{10} 4x-ს.

$$\frac{47}{10}x=3$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{47}{10}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{30}{47}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{30}{47}-ით x აქ: y=\frac{1}{10}x. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=\frac{1}{10}\times \frac{30}{47}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{10}-ზე \frac{30}{47} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$y=\frac{3}{47}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{3}{47},x=\frac{30}{47}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 4-ზე.

$$20y+8y=3x-2y$$

დააჯგუფეთ 20y და 8y, რათა მიიღოთ 28y.

$$28y=3x-2y$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$28y-3x=-2y$$

დაამატეთ 2y ორივე მხარეს.

$$28y-3x+2y=0$$

დააჯგუფეთ 28y და 2y, რათა მიიღოთ 30y.

$$30y-3x=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$y+4x=3-6y$$

დაამატეთ 6y ორივე მხარეს.

$$y+4x+6y=3$$

დააჯგუფეთ y და 6y, რათა მიიღოთ 7y.

$$7y+4x=3$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$30y-3x=0,7y+4x=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&-3\\7&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{30\times 4-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{30\times 4-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{30\times 4-\left(-3\times 7\right)}&\frac{30}{30\times 4-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{141}&\frac{1}{47}\\-\frac{7}{141}&\frac{10}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}\times 3\\\frac{10}{47}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{47}\\\frac{30}{47}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=\frac{3}{47},x=\frac{30}{47}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 4-ზე.

$$20y+8y=3x-2y$$

დააჯგუფეთ 20y და 8y, რათა მიიღოთ 28y.

$$28y=3x-2y$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$28y-3x=-2y$$

დაამატეთ 2y ორივე მხარეს.

$$28y-3x+2y=0$$

დააჯგუფეთ 28y და 2y, რათა მიიღოთ 30y.

$$30y-3x=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$y+4x=3-6y$$

დაამატეთ 6y ორივე მხარეს.

$$y+4x+6y=3$$

დააჯგუფეთ y და 6y, რათა მიიღოთ 7y.

$$7y+4x=3$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$30y-3x=0,7y+4x=3$$

იმისათვის, რომ 30y და 7y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 30-ზე.

$$7\times 30y+7\left(-3\right)x=0,30\times 7y+30\times 4x=30\times 3$$

გაამარტივეთ.

$$210y-21x=0,210y+120x=90$$

გამოაკელით 210y+120x=90 210y-21x=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$210y-210y-21x-120x=-90$$

მიუმატეთ 210y -210y-ს. პირობები 210y და -210y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-21x-120x=-90$$

მიუმატეთ -21x -120x-ს.

$$-141x=-90$$

ორივე მხარე გაყავით -141-ზე.

$$x=\frac{30}{47}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{30}{47}-ით x აქ: 7y+4x=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$7y+4\times \frac{30}{47}=3$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{30}{47}.

$$7y+\frac{120}{47}=3$$

გამოაკელით \frac{120}{47} განტოლების ორივე მხარეს.

$$7y=\frac{21}{47}$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$y=\frac{3}{47}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{3}{47},x=\frac{30}{47}$$