გადაწყვიტეთ {l}{5x-4y=19y}{5x+2y=71}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 y } \\ { 5 x + 2 y = 71 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{1633}{125} = 13\frac{8}{125} = 13.064$$

$$y = \frac{71}{25} = 2\frac{21}{25} = 2.84$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 19y ორივე მხარეს.

$$5x-4y-19y=0$$

დააჯგუფეთ -4y და -19y, რათა მიიღოთ -23y.

$$5x-23y=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-23y=0$$

მიუმატეთ 23y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=23y$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\times 23y$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 23y.

$$x=\frac{23}{5}y$$

ჩაანაცვლეთ \frac{23y}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 5x+2y=71.

$$5\times \frac{23}{5}y+2y=71$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{23y}{5}.

$$23y+2y=71$$

მიუმატეთ 23y 2y-ს.

$$25y=71$$

ორივე მხარე გაყავით 25-ზე.

$$y=\frac{71}{25}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{71}{25}-ით y აქ: x=\frac{23}{5}y. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{23}{5}\times \frac{71}{25}$$

გაამრავლეთ \frac{23}{5}-ზე \frac{71}{25} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{1633}{125}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 19y ორივე მხარეს.

$$5x-4y-19y=0$$

დააჯგუფეთ -4y და -19y, რათა მიიღოთ -23y.

$$5x-23y=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&-\frac{-23}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{125}&\frac{23}{125}\\-\frac{1}{25}&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{125}\times 71\\\frac{1}{25}\times 71\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1633}{125}\\\frac{71}{25}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 19y ორივე მხარეს.

$$5x-4y-19y=0$$

დააჯგუფეთ -4y და -19y, რათა მიიღოთ -23y.

$$5x-23y=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

გამოაკელით 5x+2y=71 5x-23y=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$5x-5x-23y-2y=-71$$

მიუმატეთ 5x -5x-ს. პირობები 5x და -5x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-23y-2y=-71$$

მიუმატეთ -23y -2y-ს.

$$-25y=-71$$

ორივე მხარე გაყავით -25-ზე.

$$y=\frac{71}{25}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{71}{25}-ით y აქ: 5x+2y=71. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$5x+2\times \frac{71}{25}=71$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{71}{25}.

$$5x+\frac{142}{25}=71$$

გამოაკელით \frac{142}{25} განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=\frac{1633}{25}$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1633}{125}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$