გადაწყვიტეთ {l}{5x-2y=4}{x/2+y/3=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 4 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-2y=4,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-2y=4$$

მიუმატეთ 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=2y+4$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 4+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{4+2y}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2.

$$\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}\right)+\frac{1}{3}y=2$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე \frac{4+2y}{5}.

$$\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}+\frac{1}{3}y=2$$

მიუმატეთ \frac{y}{5} \frac{y}{3}-ს.

$$\frac{8}{15}y+\frac{2}{5}=2$$

გამოაკელით \frac{2}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{8}{15}y=\frac{8}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{8}{15}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{2}{5}\times 3+\frac{4}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{2}{5}-ზე 3.

$$x=\frac{6+4}{5}$$

მიუმატეთ \frac{4}{5} \frac{6}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-2y=4,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-2}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{5}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{4}\\-\frac{3}{16}&\frac{15}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 4+\frac{3}{4}\times 2\\-\frac{3}{16}\times 4+\frac{15}{8}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-2y=4,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2$$

იმისათვის, რომ 5x და \frac{x}{2} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{1}{2}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$\frac{1}{2}\times 5x+\frac{1}{2}\left(-2\right)y=\frac{1}{2}\times 4,5\times \frac{1}{2}x+5\times \frac{1}{3}y=5\times 2$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{5}{2}x-y=2,\frac{5}{2}x+\frac{5}{3}y=10$$

გამოაკელით \frac{5}{2}x+\frac{5}{3}y=10 \frac{5}{2}x-y=2-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\frac{5}{2}x-\frac{5}{2}x-y-\frac{5}{3}y=2-10$$

მიუმატეთ \frac{5x}{2} -\frac{5x}{2}-ს. პირობები \frac{5x}{2} და -\frac{5x}{2} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-y-\frac{5}{3}y=2-10$$

მიუმატეთ -y -\frac{5y}{3}-ს.

$$-\frac{8}{3}y=2-10$$

მიუმატეთ 2 -10-ს.

$$-\frac{8}{3}y=-8$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{8}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\times 3=2$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 3.

$$\frac{1}{2}x+1=2$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{2}x=1$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=3$$