გადაწყვიტეთ {l}{5x+y=39}{3x+4y=54}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 39 } \\ { 3 x + 4 y = 54 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=6$$

$$y=9$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x+y=39$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-y+39$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+39\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -y+39.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y+39}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+4y=54.

$$3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}\right)+4y=54$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{-y+39}{5}.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{117}{5}+4y=54$$

მიუმატეთ -\frac{3y}{5} 4y-ს.

$$\frac{17}{5}y+\frac{117}{5}=54$$

გამოაკელით \frac{117}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{17}{5}y=\frac{153}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{17}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=9$$

ჩაანაცვლეთ 9-ით y აქ: x=-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{5}\times 9+\frac{39}{5}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{5}-ზე 9.

$$x=\frac{-9+39}{5}$$

მიუმატეთ \frac{39}{5} -\frac{9}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=6,y=9$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3}&-\frac{1}{5\times 4-3}\\-\frac{3}{5\times 4-3}&\frac{5}{5\times 4-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&-\frac{1}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 39-\frac{1}{17}\times 54\\-\frac{3}{17}\times 39+\frac{5}{17}\times 54\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=6,y=9$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

იმისათვის, რომ 5x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$3\times 5x+3y=3\times 39,5\times 3x+5\times 4y=5\times 54$$

გაამარტივეთ.

$$15x+3y=117,15x+20y=270$$

გამოაკელით 15x+20y=270 15x+3y=117-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$15x-15x+3y-20y=117-270$$

მიუმატეთ 15x -15x-ს. პირობები 15x და -15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3y-20y=117-270$$

მიუმატეთ 3y -20y-ს.

$$-17y=117-270$$

მიუმატეთ 117 -270-ს.

$$-17y=-153$$

ორივე მხარე გაყავით -17-ზე.

$$y=9$$

ჩაანაცვლეთ 9-ით y აქ: 3x+4y=54. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+4\times 9=54$$

გაამრავლეთ 4-ზე 9.

$$3x+36=54$$

გამოაკელით 36 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=18$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=6,y=9$$