გადაწყვიტეთ {l}{5x+y=35}{7x+1,1y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 35 } \\ { 7 x + 1,1 y = 40 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=30$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x+y=35;7x+1,1y=40$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x+y=35$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-y+35$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+35\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -y+35.

$$x=-\frac{1}{5}y+7$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{5}+7-ით x მეორე განტოლებაში, 7x+1,1y=40.

$$7\left(-\frac{1}{5}y+7\right)+1,1y=40$$

გაამრავლეთ 7-ზე -\frac{y}{5}+7.

$$-\frac{7}{5}y+49+1,1y=40$$

მიუმატეთ -\frac{7y}{5} \frac{11y}{10}-ს.

$$-\frac{3}{10}y+49=40$$

გამოაკელით 49 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{3}{10}y=-9$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{3}{10}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=30$$

ჩაანაცვლეთ 30-ით y აქ: x=-\frac{1}{5}y+7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{5}\times 30+7$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{5}-ზე 30.

$$x=-6+7$$

მიუმატეთ 7 -6-ს.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1;y=30$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x+y=35;7x+1,1y=40$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1,1}{5\times 1,1-7}&-\frac{1}{5\times 1,1-7}\\-\frac{7}{5\times 1,1-7}&\frac{5}{5\times 1,1-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{14}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\times 35+\frac{2}{3}\times 40\\\frac{14}{3}\times 35-\frac{10}{3}\times 40\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\30\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1;y=30$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x+y=35;7x+1,1y=40$$

იმისათვის, რომ 5x და 7x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$7\times 5x+7y=7\times 35;5\times 7x+5\times 1,1y=5\times 40$$

გაამარტივეთ.

$$35x+7y=245;35x+5,5y=200$$

გამოაკელით 35x+5,5y=200 35x+7y=245-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$35x-35x+7y-5,5y=245-200$$

მიუმატეთ 35x -35x-ს. პირობები 35x და -35x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$7y-5,5y=245-200$$

მიუმატეთ 7y -\frac{11y}{2}-ს.

$$1,5y=245-200$$

მიუმატეთ 245 -200-ს.

$$1,5y=45$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 1,5-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=30$$

ჩაანაცვლეთ 30-ით y აქ: 7x+1,1y=40. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$7x+1,1\times 30=40$$

გაამრავლეთ 1,1-ზე 30.

$$7x+33=40$$

გამოაკელით 33 განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=7$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1;y=30$$