გადაწყვიტეთ {l}{5x+7y=2060}{1020=2060-(2x+4y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 2060 } \\ { 1020 = 2060 - ( 2 x + 4 y ) } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=160$$

$$y=180$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. 2x+4y-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$1020=2060-2x-4y$$

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$2060-2x-4y=1020$$

გამოაკელით 2060 ორივე მხარეს.

$$-2x-4y=1020-2060$$

გამოაკელით 2060 1020-ს -1040-ის მისაღებად.

$$-2x-4y=-1040$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x+7y=2060$$

გამოაკელით 7y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-7y+2060$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+2060\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -7y+2060.

$$x=-\frac{7}{5}y+412$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{7y}{5}+412-ით x მეორე განტოლებაში, -2x-4y=-1040.

$$-2\left(-\frac{7}{5}y+412\right)-4y=-1040$$

გაამრავლეთ -2-ზე -\frac{7y}{5}+412.

$$\frac{14}{5}y-824-4y=-1040$$

მიუმატეთ \frac{14y}{5} -4y-ს.

$$-\frac{6}{5}y-824=-1040$$

მიუმატეთ 824 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{6}{5}y=-216$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{6}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=180$$

ჩაანაცვლეთ 180-ით y აქ: x=-\frac{7}{5}y+412. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{7}{5}\times 180+412$$

გაამრავლეთ -\frac{7}{5}-ზე 180.

$$x=-252+412$$

მიუმატეთ 412 -252-ს.

$$x=160$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=160,y=180$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. 2x+4y-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$1020=2060-2x-4y$$

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$2060-2x-4y=1020$$

გამოაკელით 2060 ორივე მხარეს.

$$-2x-4y=1020-2060$$

გამოაკელით 2060 1020-ს -1040-ის მისაღებად.

$$-2x-4y=-1040$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&-\frac{7}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 2060+\frac{7}{6}\left(-1040\right)\\-\frac{1}{3}\times 2060-\frac{5}{6}\left(-1040\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}160\\180\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=160,y=180$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. 2x+4y-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$1020=2060-2x-4y$$

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$2060-2x-4y=1020$$

გამოაკელით 2060 ორივე მხარეს.

$$-2x-4y=1020-2060$$

გამოაკელით 2060 1020-ს -1040-ის მისაღებად.

$$-2x-4y=-1040$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

იმისათვის, რომ 5x და -2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$-2\times 5x-2\times 7y=-2\times 2060,5\left(-2\right)x+5\left(-4\right)y=5\left(-1040\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-10x-14y=-4120,-10x-20y=-5200$$

გამოაკელით -10x-20y=-5200 -10x-14y=-4120-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-10x+10x-14y+20y=-4120+5200$$

მიუმატეთ -10x 10x-ს. პირობები -10x და 10x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-14y+20y=-4120+5200$$

მიუმატეთ -14y 20y-ს.

$$6y=-4120+5200$$

მიუმატეთ -4120 5200-ს.

$$6y=1080$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$y=180$$

ჩაანაცვლეთ 180-ით y აქ: -2x-4y=-1040. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-2x-4\times 180=-1040$$

გაამრავლეთ -4-ზე 180.

$$-2x-720=-1040$$

მიუმატეთ 720 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=-320$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=160$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=160,y=180$$