გადაწყვიტეთ {l}{5x+3y=1}{4x+7y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 1 } \\ { 4 x + 7 y = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{1}{23}\approx 0.043478261$$

$$y=\frac{6}{23}\approx 0.260869565$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x+3y=1,4x+7y=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x+3y=1$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-3y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -3y+1.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{1}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y+1}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+7y=2.

$$4\left(-\frac{3}{5}y+\frac{1}{5}\right)+7y=2$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{-3y+1}{5}.

$$-\frac{12}{5}y+\frac{4}{5}+7y=2$$

მიუმატეთ -\frac{12y}{5} 7y-ს.

$$\frac{23}{5}y+\frac{4}{5}=2$$

გამოაკელით \frac{4}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{23}{5}y=\frac{6}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{23}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{6}{23}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{6}{23}-ით y აქ: x=-\frac{3}{5}y+\frac{1}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{6}{23}+\frac{1}{5}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{5}-ზე \frac{6}{23} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{18}{115}+\frac{1}{5}$$

მიუმატეთ \frac{1}{5} -\frac{18}{115}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{1}{23}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{23},y=\frac{6}{23}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x+3y=1,4x+7y=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-3\times 4}&-\frac{3}{5\times 7-3\times 4}\\-\frac{4}{5\times 7-3\times 4}&\frac{5}{5\times 7-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&-\frac{3}{23}\\-\frac{4}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}-\frac{3}{23}\times 2\\-\frac{4}{23}+\frac{5}{23}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\\\frac{6}{23}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{1}{23},y=\frac{6}{23}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x+3y=1,4x+7y=2$$

იმისათვის, რომ 5x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$4\times 5x+4\times 3y=4,5\times 4x+5\times 7y=5\times 2$$

გაამარტივეთ.

$$20x+12y=4,20x+35y=10$$

გამოაკელით 20x+35y=10 20x+12y=4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$20x-20x+12y-35y=4-10$$

მიუმატეთ 20x -20x-ს. პირობები 20x და -20x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$12y-35y=4-10$$

მიუმატეთ 12y -35y-ს.

$$-23y=4-10$$

მიუმატეთ 4 -10-ს.

$$-23y=-6$$

ორივე მხარე გაყავით -23-ზე.

$$y=\frac{6}{23}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{6}{23}-ით y აქ: 4x+7y=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+7\times \frac{6}{23}=2$$

გაამრავლეთ 7-ზე \frac{6}{23}.

$$4x+\frac{42}{23}=2$$

გამოაკელით \frac{42}{23} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=\frac{4}{23}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{23}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{23},y=\frac{6}{23}$$