გადაწყვიტეთ {l}{5x+1y=2}{2x-5y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 1 y = 2 } \\ { 2 x - 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{4}{9}\approx 0.444444444$$

$$y=-\frac{2}{9}\approx -0.222222222$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x+y=2$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-y+2$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+2\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -y+2.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y+2}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x-5y=2.

$$2\left(-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}\right)-5y=2$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{-y+2}{5}.

$$-\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}-5y=2$$

მიუმატეთ -\frac{2y}{5} -5y-ს.

$$-\frac{27}{5}y+\frac{4}{5}=2$$

გამოაკელით \frac{4}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{27}{5}y=\frac{6}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{27}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{2}{9}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{2}{9}-ით y აქ: x=-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-\frac{2}{9}\right)+\frac{2}{5}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{5}-ზე -\frac{2}{9} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{2}{45}+\frac{2}{5}$$

მიუმატეთ \frac{2}{5} \frac{2}{45}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{4}{9}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{5\left(-5\right)-2}&-\frac{1}{5\left(-5\right)-2}\\-\frac{2}{5\left(-5\right)-2}&\frac{5}{5\left(-5\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{27}&\frac{1}{27}\\\frac{2}{27}&-\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{27}\times 2+\frac{1}{27}\times 2\\\frac{2}{27}\times 2-\frac{5}{27}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

იმისათვის, რომ 5x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$2\times 5x+2y=2\times 2,5\times 2x+5\left(-5\right)y=5\times 2$$

გაამარტივეთ.

$$10x+2y=4,10x-25y=10$$

გამოაკელით 10x-25y=10 10x+2y=4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$10x-10x+2y+25y=4-10$$

მიუმატეთ 10x -10x-ს. პირობები 10x და -10x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2y+25y=4-10$$

მიუმატეთ 2y 25y-ს.

$$27y=4-10$$

მიუმატეთ 4 -10-ს.

$$27y=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 27-ზე.

$$y=-\frac{2}{9}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{2}{9}-ით y აქ: 2x-5y=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x-5\left(-\frac{2}{9}\right)=2$$

გაამრავლეთ -5-ზე -\frac{2}{9}.

$$2x+\frac{10}{9}=2$$

გამოაკელით \frac{10}{9} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=\frac{8}{9}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{4}{9}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$