გადაწყვიტეთ {l}{48x+40y=1280}{120x+80y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 48 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=10$$

$$y=20$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$48x+40y=1280$$

გამოაკელით 40y განტოლების ორივე მხარეს.

$$48x=-40y+1280$$

ორივე მხარე გაყავით 48-ზე.

$$x=\frac{1}{48}\left(-40y+1280\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{48}-ზე -40y+1280.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5y}{6}+\frac{80}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 120x+80y=2800.

$$120\left(-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}\right)+80y=2800$$

გაამრავლეთ 120-ზე -\frac{5y}{6}+\frac{80}{3}.

$$-100y+3200+80y=2800$$

მიუმატეთ -100y 80y-ს.

$$-20y+3200=2800$$

გამოაკელით 3200 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-20y=-400$$

ორივე მხარე გაყავით -20-ზე.

$$y=20$$

ჩაანაცვლეთ 20-ით y აქ: x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{6}\times 20+\frac{80}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{6}-ზე 20.

$$x=\frac{-50+80}{3}$$

მიუმატეთ \frac{80}{3} -\frac{50}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=10$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=10,y=20$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{48\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{48\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{48\times 80-40\times 120}&\frac{48}{48\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{1}{24}\times 2800\\\frac{1}{8}\times 1280-\frac{1}{20}\times 2800\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=10,y=20$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

იმისათვის, რომ 48x და 120x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 120-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 48-ზე.

$$120\times 48x+120\times 40y=120\times 1280,48\times 120x+48\times 80y=48\times 2800$$

გაამარტივეთ.

$$5760x+4800y=153600,5760x+3840y=134400$$

გამოაკელით 5760x+3840y=134400 5760x+4800y=153600-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$5760x-5760x+4800y-3840y=153600-134400$$

მიუმატეთ 5760x -5760x-ს. პირობები 5760x და -5760x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4800y-3840y=153600-134400$$

მიუმატეთ 4800y -3840y-ს.

$$960y=153600-134400$$

მიუმატეთ 153600 -134400-ს.

$$960y=19200$$

ორივე მხარე გაყავით 960-ზე.

$$y=20$$

ჩაანაცვლეთ 20-ით y აქ: 120x+80y=2800. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$120x+80\times 20=2800$$

გაამრავლეთ 80-ზე 20.

$$120x+1600=2800$$

გამოაკელით 1600 განტოლების ორივე მხარეს.

$$120x=1200$$

ორივე მხარე გაყავით 120-ზე.

$$x=10$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=10,y=20$$