გადაწყვიტეთ {l}{44k+b=72}{48k+b=64}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 k + b = 72 } \\ { 48 k + b = 64 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა k, b-ისთვის

$$k=-2$$

$$b=160$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი k-ისთვის, k-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$44k+b=72$$

გამოაკელით b განტოლების ორივე მხარეს.

$$44k=-b+72$$

ორივე მხარე გაყავით 44-ზე.

$$k=\frac{1}{44}\left(-b+72\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{44}-ზე -b+72.

$$k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{b}{44}+\frac{18}{11}-ით k მეორე განტოლებაში, 48k+b=64.

$$48\left(-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}\right)+b=64$$

გაამრავლეთ 48-ზე -\frac{b}{44}+\frac{18}{11}.

$$-\frac{12}{11}b+\frac{864}{11}+b=64$$

მიუმატეთ -\frac{12b}{11} b-ს.

$$-\frac{1}{11}b+\frac{864}{11}=64$$

გამოაკელით \frac{864}{11} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{1}{11}b=-\frac{160}{11}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -11-ზე.

$$b=160$$

ჩაანაცვლეთ 160-ით b აქ: k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ k.

$$k=-\frac{1}{44}\times 160+\frac{18}{11}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{44}-ზე 160.

$$k=\frac{-40+18}{11}$$

მიუმატეთ \frac{18}{11} -\frac{40}{11}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$k=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$k=-2,b=160$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{44-48}&-\frac{1}{44-48}\\-\frac{48}{44-48}&\frac{44}{44-48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 72+\frac{1}{4}\times 64\\12\times 72-11\times 64\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\160\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - k და b.

$$k=-2,b=160$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

გამოაკელით 48k+b=64 44k+b=72-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$44k-48k+b-b=72-64$$

მიუმატეთ b -b-ს. პირობები b და -b გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$44k-48k=72-64$$

მიუმატეთ 44k -48k-ს.

$$-4k=72-64$$

მიუმატეთ 72 -64-ს.

$$-4k=8$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$k=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით k აქ: 48k+b=64. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ b.

$$48\left(-2\right)+b=64$$

გაამრავლეთ 48-ზე -2.

$$-96+b=64$$

მიუმატეთ 96 განტოლების ორივე მხარეს.

$$b=160$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$k=-2,b=160$$