გადაწყვიტეთ {l}{4x-5y=9}{7x-4y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 9 } \\ { 7 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{39}{19} = 2\frac{1}{19} \approx 2.052631579$$

$$y=-\frac{3}{19}\approx -0.157894737$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x-5y=9$$

მიუმატეთ 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=5y+9$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+9\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე 5y+9.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5y+9}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, 7x-4y=15.

$$7\left(\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}\right)-4y=15$$

გაამრავლეთ 7-ზე \frac{5y+9}{4}.

$$\frac{35}{4}y+\frac{63}{4}-4y=15$$

მიუმატეთ \frac{35y}{4} -4y-ს.

$$\frac{19}{4}y+\frac{63}{4}=15$$

გამოაკელით \frac{63}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{19}{4}y=-\frac{3}{4}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{19}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{3}{19}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3}{19}-ით y აქ: x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{3}{19}\right)+\frac{9}{4}$$

გაამრავლეთ \frac{5}{4}-ზე -\frac{3}{19} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{15}{76}+\frac{9}{4}$$

მიუმატეთ \frac{9}{4} -\frac{15}{76}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{39}{19}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{7}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}\times 9+\frac{5}{19}\times 15\\-\frac{7}{19}\times 9+\frac{4}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{19}\\-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

იმისათვის, რომ 4x და 7x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\times 9,4\times 7x+4\left(-4\right)y=4\times 15$$

გაამარტივეთ.

$$28x-35y=63,28x-16y=60$$

გამოაკელით 28x-16y=60 28x-35y=63-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$28x-28x-35y+16y=63-60$$

მიუმატეთ 28x -28x-ს. პირობები 28x და -28x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-35y+16y=63-60$$

მიუმატეთ -35y 16y-ს.

$$-19y=63-60$$

მიუმატეთ 63 -60-ს.

$$-19y=3$$

ორივე მხარე გაყავით -19-ზე.

$$y=-\frac{3}{19}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3}{19}-ით y აქ: 7x-4y=15. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$7x-4\left(-\frac{3}{19}\right)=15$$

გაამრავლეთ -4-ზე -\frac{3}{19}.

$$7x+\frac{12}{19}=15$$

გამოაკელით \frac{12}{19} განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=\frac{273}{19}$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=\frac{39}{19}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$