გადაწყვიტეთ {l}{4x-3y=5}{ax+6y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 5 } \\ { a x + 6 y = 5 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{15}{a+8}$$

$$y=-\frac{5\left(a-4\right)}{3\left(a+8\right)}$$

$$a\neq -8$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x-3y=5,ax+6y=5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x-3y=5$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=3y+5$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე 3y+5.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y+5}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, ax+6y=5.

$$a\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}\right)+6y=5$$

გაამრავლეთ a-ზე \frac{3y+5}{4}.

$$\frac{3a}{4}y+\frac{5a}{4}+6y=5$$

მიუმატეთ \frac{3ay}{4} 6y-ს.

$$\left(\frac{3a}{4}+6\right)y+\frac{5a}{4}=5$$

გამოაკელით \frac{5a}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(\frac{3a}{4}+6\right)y=-\frac{5a}{4}+5$$

ორივე მხარე გაყავით \frac{3a}{4}+6-ზე.

$$y=\frac{5\left(4-a\right)}{3\left(a+8\right)}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5\left(4-a\right)}{3\left(8+a\right)}-ით y აქ: x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{4}\times \frac{5\left(4-a\right)}{3\left(a+8\right)}+\frac{5}{4}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{4}-ზე \frac{5\left(4-a\right)}{3\left(8+a\right)}.

$$x=\frac{5\left(4-a\right)}{4\left(a+8\right)}+\frac{5}{4}$$

მიუმატეთ \frac{5}{4} \frac{5\left(4-a\right)}{4\left(8+a\right)}-ს.

$$x=\frac{15}{a+8}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{15}{a+8},y=\frac{5\left(4-a\right)}{3\left(a+8\right)}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x-3y=5,ax+6y=5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\a&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&-3\\a&6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\a&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\a&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\a&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\a&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\a&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-\left(-3a\right)}&-\frac{-3}{4\times 6-\left(-3a\right)}\\-\frac{a}{4\times 6-\left(-3a\right)}&\frac{4}{4\times 6-\left(-3a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{a+8}&\frac{1}{a+8}\\-\frac{a}{3\left(a+8\right)}&\frac{4}{3\left(a+8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{a+8}\times 5+\frac{1}{a+8}\times 5\\\left(-\frac{a}{3\left(a+8\right)}\right)\times 5+\frac{4}{3\left(a+8\right)}\times 5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{a+8}\\\frac{5\left(4-a\right)}{3\left(a+8\right)}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{15}{a+8},y=\frac{5\left(4-a\right)}{3\left(a+8\right)}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x-3y=5,ax+6y=5$$

იმისათვის, რომ 4x და ax ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს a-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$a\times 4x+a\left(-3\right)y=a\times 5,4ax+4\times 6y=4\times 5$$

გაამარტივეთ.

$$4ax+\left(-3a\right)y=5a,4ax+24y=20$$

გამოაკელით 4ax+24y=20 4ax+\left(-3a\right)y=5a-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$4ax+\left(-4a\right)x+\left(-3a\right)y-24y=5a-20$$

მიუმატეთ 4ax -4ax-ს. პირობები 4ax და -4ax გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\left(-3a\right)y-24y=5a-20$$

მიუმატეთ -3ay -24y-ს.

$$\left(-3a-24\right)y=5a-20$$

ორივე მხარე გაყავით -3a-24-ზე.

$$y=-\frac{5\left(a-4\right)}{3\left(a+8\right)}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5\left(-4+a\right)}{3\left(8+a\right)}-ით y აქ: ax+6y=5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$ax+6\left(-\frac{5\left(a-4\right)}{3\left(a+8\right)}\right)=5$$

გაამრავლეთ 6-ზე -\frac{5\left(-4+a\right)}{3\left(8+a\right)}.

$$ax-\frac{10\left(a-4\right)}{a+8}=5$$

მიუმატეთ \frac{10\left(-4+a\right)}{8+a} განტოლების ორივე მხარეს.

$$ax=\frac{15a}{a+8}$$

ორივე მხარე გაყავით a-ზე.

$$x=\frac{15}{a+8}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{15}{a+8},y=-\frac{5\left(a-4\right)}{3\left(a+8\right)}$$