გადაწყვიტეთ {l}{4x+3y=-7}{3x-5y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = - 7 } \\ { 3 x - 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-1$$

$$y=-1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x+3y=-7,3x-5y=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x+3y=-7$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-3y-7$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-7\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -3y-7.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y-7}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x-5y=2.

$$3\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}\right)-5y=2$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{-3y-7}{4}.

$$-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}-5y=2$$

მიუმატეთ -\frac{9y}{4} -5y-ს.

$$-\frac{29}{4}y-\frac{21}{4}=2$$

მიუმატეთ \frac{21}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{29}{4}y=\frac{29}{4}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{29}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)-\frac{7}{4}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{4}-ზე -1.

$$x=\frac{3-7}{4}$$

მიუმატეთ -\frac{7}{4} \frac{3}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=-1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x+3y=-7,3x-5y=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-3\times 3}&-\frac{3}{4\left(-5\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-5\right)-3\times 3}&\frac{4}{4\left(-5\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{3}{29}&-\frac{4}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-7\right)+\frac{3}{29}\times 2\\\frac{3}{29}\left(-7\right)-\frac{4}{29}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-1,y=-1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x+3y=-7,3x-5y=2$$

იმისათვის, რომ 4x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\left(-7\right),4\times 3x+4\left(-5\right)y=4\times 2$$

გაამარტივეთ.

$$12x+9y=-21,12x-20y=8$$

გამოაკელით 12x-20y=8 12x+9y=-21-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$12x-12x+9y+20y=-21-8$$

მიუმატეთ 12x -12x-ს. პირობები 12x და -12x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$9y+20y=-21-8$$

მიუმატეთ 9y 20y-ს.

$$29y=-21-8$$

მიუმატეთ -21 -8-ს.

$$29y=-29$$

ორივე მხარე გაყავით 29-ზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: 3x-5y=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-5\left(-1\right)=2$$

გაამრავლეთ -5-ზე -1.

$$3x+5=2$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-3$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=-1$$