გადაწყვიტეთ {l}{4m+9n=-35}{3m-8n=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 m + 9 n = - 35 } \\ { 3 m - 8 n = 18 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა m, n-ისთვის

$$m=-2$$

$$n=-3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი m-ისთვის, m-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4m+9n=-35$$

გამოაკელით 9n განტოლების ორივე მხარეს.

$$4m=-9n-35$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$m=\frac{1}{4}\left(-9n-35\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -9n-35.

$$m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-9n-35}{4}-ით m მეორე განტოლებაში, 3m-8n=18.

$$3\left(-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}\right)-8n=18$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{-9n-35}{4}.

$$-\frac{27}{4}n-\frac{105}{4}-8n=18$$

მიუმატეთ -\frac{27n}{4} -8n-ს.

$$-\frac{59}{4}n-\frac{105}{4}=18$$

მიუმატეთ \frac{105}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{59}{4}n=\frac{177}{4}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{59}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$n=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით n აქ: m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$m=-\frac{9}{4}\left(-3\right)-\frac{35}{4}$$

გაამრავლეთ -\frac{9}{4}-ზე -3.

$$m=\frac{27-35}{4}$$

მიუმატეთ -\frac{35}{4} \frac{27}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$m=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=-2,n=-3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-9\times 3}&-\frac{9}{4\left(-8\right)-9\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-8\right)-9\times 3}&\frac{4}{4\left(-8\right)-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}&\frac{9}{59}\\\frac{3}{59}&-\frac{4}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}\left(-35\right)+\frac{9}{59}\times 18\\\frac{3}{59}\left(-35\right)-\frac{4}{59}\times 18\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - m და n.

$$m=-2,n=-3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

იმისათვის, რომ 4m და 3m ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$3\times 4m+3\times 9n=3\left(-35\right),4\times 3m+4\left(-8\right)n=4\times 18$$

გაამარტივეთ.

$$12m+27n=-105,12m-32n=72$$

გამოაკელით 12m-32n=72 12m+27n=-105-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$12m-12m+27n+32n=-105-72$$

მიუმატეთ 12m -12m-ს. პირობები 12m და -12m გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$27n+32n=-105-72$$

მიუმატეთ 27n 32n-ს.

$$59n=-105-72$$

მიუმატეთ -105 -72-ს.

$$59n=-177$$

ორივე მხარე გაყავით 59-ზე.

$$n=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით n აქ: 3m-8n=18. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$3m-8\left(-3\right)=18$$

გაამრავლეთ -8-ზე -3.

$$3m+24=18$$

გამოაკელით 24 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3m=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$m=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=-2,n=-3$$