გადაწყვიტეთ {l}{4(2x-y)-7(2y+x)=-36}{-2(x+2)-7y=-18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( 2 x - y ) - 7 ( 2 y + x ) = - 36 } \\ { - 2 ( x + 2 ) - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=0$$

$$y=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 2x-y-ზე.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -7 2y+x-ზე.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

დააჯგუფეთ -4y და -14y, რათა მიიღოთ -18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

დააჯგუფეთ 8x და -7x, რათა მიიღოთ x.

$$x-18y=-36$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 x+2-ზე.

$$-2x-4-7y=-18$$

დაამატეთ 4 ორივე მხარეს.

$$-2x-7y=-18+4$$

შეკრიბეთ -18 და 4, რათა მიიღოთ -14.

$$-2x-7y=-14$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-18y=-36$$

მიუმატეთ 18y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=18y-36$$

ჩაანაცვლეთ -36+18y-ით x მეორე განტოლებაში, -2x-7y=-14.

$$-2\left(18y-36\right)-7y=-14$$

გაამრავლეთ -2-ზე -36+18y.

$$-36y+72-7y=-14$$

მიუმატეთ -36y -7y-ს.

$$-43y+72=-14$$

გამოაკელით 72 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-43y=-86$$

ორივე მხარე გაყავით -43-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x=18y-36. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=18\times 2-36$$

გაამრავლეთ 18-ზე 2.

$$x=36-36$$

მიუმატეთ -36 36-ს.

$$x=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=0,y=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 2x-y-ზე.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -7 2y+x-ზე.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

დააჯგუფეთ -4y და -14y, რათა მიიღოთ -18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

დააჯგუფეთ 8x და -7x, რათა მიიღოთ x.

$$x-18y=-36$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 x+2-ზე.

$$-2x-4-7y=-18$$

დაამატეთ 4 ორივე მხარეს.

$$-2x-7y=-18+4$$

შეკრიბეთ -18 და 4, რათა მიიღოთ -14.

$$-2x-7y=-14$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&-\frac{-18}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}&-\frac{18}{43}\\-\frac{2}{43}&-\frac{1}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}\left(-36\right)-\frac{18}{43}\left(-14\right)\\-\frac{2}{43}\left(-36\right)-\frac{1}{43}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=0,y=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 2x-y-ზე.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -7 2y+x-ზე.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

დააჯგუფეთ -4y და -14y, რათა მიიღოთ -18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

დააჯგუფეთ 8x და -7x, რათა მიიღოთ x.

$$x-18y=-36$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 x+2-ზე.

$$-2x-4-7y=-18$$

დაამატეთ 4 ორივე მხარეს.

$$-2x-7y=-18+4$$

შეკრიბეთ -18 და 4, რათა მიიღოთ -14.

$$-2x-7y=-14$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

იმისათვის, რომ x და -2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-2x-2\left(-18\right)y=-2\left(-36\right),-2x-7y=-14$$

გაამარტივეთ.

$$-2x+36y=72,-2x-7y=-14$$

გამოაკელით -2x-7y=-14 -2x+36y=72-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-2x+2x+36y+7y=72+14$$

მიუმატეთ -2x 2x-ს. პირობები -2x და 2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$36y+7y=72+14$$

მიუმატეთ 36y 7y-ს.

$$43y=72+14$$

მიუმატეთ 72 14-ს.

$$43y=86$$

ორივე მხარე გაყავით 43-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: -2x-7y=-14. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-2x-7\times 2=-14$$

გაამრავლეთ -7-ზე 2.

$$-2x-14=-14$$

მიუმატეთ 14 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=0$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=0,y=2$$