გადაწყვიტეთ {l}{30x+15y=675}{42x+20y=940}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=20$$

$$y=5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$30x+15y=675$$

გამოაკელით 15y განტოლების ორივე მხარეს.

$$30x=-15y+675$$

ორივე მხარე გაყავით 30-ზე.

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{30}-ზე -15y+675.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y+45}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 42x+20y=940.

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

გაამრავლეთ 42-ზე \frac{-y+45}{2}.

$$-21y+945+20y=940$$

მიუმატეთ -21y 20y-ს.

$$-y+945=940$$

გამოაკელით 945 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y=-5$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით y აქ: x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე 5.

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

მიუმატეთ \frac{45}{2} -\frac{5}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=20$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=20,y=5$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=20,y=5$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

იმისათვის, რომ 30x და 42x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 42-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 30-ზე.

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

გაამარტივეთ.

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

გამოაკელით 1260x+600y=28200 1260x+630y=28350-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

მიუმატეთ 1260x -1260x-ს. პირობები 1260x და -1260x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$630y-600y=28350-28200$$

მიუმატეთ 630y -600y-ს.

$$30y=28350-28200$$

მიუმატეთ 28350 -28200-ს.

$$30y=150$$

ორივე მხარე გაყავით 30-ზე.

$$y=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით y აქ: 42x+20y=940. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$42x+20\times 5=940$$

გაამრავლეთ 20-ზე 5.

$$42x+100=940$$

გამოაკელით 100 განტოლების ორივე მხარეს.

$$42x=840$$

ორივე მხარე გაყავით 42-ზე.

$$x=20$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=20,y=5$$