გადაწყვიტეთ {l}{3y-7x=-9}{5x+2y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y - 7 x = - 9 } \\ { 5 x + 2 y = 23 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=3$$

$$y=4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3y-7x=-9$$

მიუმატეთ 7x განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y=7x-9$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=\frac{1}{3}\left(7x-9\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 7x-9.

$$y=\frac{7}{3}x-3$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7x}{3}-3-ით y მეორე განტოლებაში, 2y+5x=23.

$$2\left(\frac{7}{3}x-3\right)+5x=23$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{7x}{3}-3.

$$\frac{14}{3}x-6+5x=23$$

მიუმატეთ \frac{14x}{3} 5x-ს.

$$\frac{29}{3}x-6=23$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{29}{3}x=29$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{29}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით x აქ: y=\frac{7}{3}x-3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=\frac{7}{3}\times 3-3$$

გაამრავლეთ \frac{7}{3}-ზე 3.

$$y=7-3$$

მიუმატეთ -3 7-ს.

$$y=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=4,x=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-9\right)+\frac{7}{29}\times 23\\-\frac{2}{29}\left(-9\right)+\frac{3}{29}\times 23\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=4,x=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

იმისათვის, რომ 3y და 2y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$2\times 3y+2\left(-7\right)x=2\left(-9\right),3\times 2y+3\times 5x=3\times 23$$

გაამარტივეთ.

$$6y-14x=-18,6y+15x=69$$

გამოაკელით 6y+15x=69 6y-14x=-18-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6y-6y-14x-15x=-18-69$$

მიუმატეთ 6y -6y-ს. პირობები 6y და -6y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-14x-15x=-18-69$$

მიუმატეთ -14x -15x-ს.

$$-29x=-18-69$$

მიუმატეთ -18 -69-ს.

$$-29x=-87$$

ორივე მხარე გაყავით -29-ზე.

$$x=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით x აქ: 2y+5x=23. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$2y+5\times 3=23$$

გაამრავლეთ 5-ზე 3.

$$2y+15=23$$

გამოაკელით 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=8$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=4,x=3$$