გადაწყვიტეთ {l}{3y=4x+8}{2y-8x=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y = 4 x + 8 } \\ { 2 y - 8 x = 7 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=-\frac{5}{16}=-0.3125$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4x ორივე მხარეს.

$$3y-4x=8$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3y-4x=8$$

მიუმატეთ 4x განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y=4x+8$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=\frac{1}{3}\left(4x+8\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 8+4x.

$$y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{8+4x}{3}-ით y მეორე განტოლებაში, 2y-8x=7.

$$2\left(\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}\right)-8x=7$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{8+4x}{3}.

$$\frac{8}{3}x+\frac{16}{3}-8x=7$$

მიუმატეთ \frac{8x}{3} -8x-ს.

$$-\frac{16}{3}x+\frac{16}{3}=7$$

გამოაკელით \frac{16}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{16}{3}x=\frac{5}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{16}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=-\frac{5}{16}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5}{16}-ით x აქ: y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=\frac{4}{3}\left(-\frac{5}{16}\right)+\frac{8}{3}$$

გაამრავლეთ \frac{4}{3}-ზე -\frac{5}{16} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$y=-\frac{5}{12}+\frac{8}{3}$$

მიუმატეთ \frac{8}{3} -\frac{5}{12}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y=\frac{9}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4x ორივე მხარეს.

$$3y-4x=8$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8-\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{16}\times 7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 4x ორივე მხარეს.

$$3y-4x=8$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

იმისათვის, რომ 3y და 2y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$2\times 3y+2\left(-4\right)x=2\times 8,3\times 2y+3\left(-8\right)x=3\times 7$$

გაამარტივეთ.

$$6y-8x=16,6y-24x=21$$

გამოაკელით 6y-24x=21 6y-8x=16-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6y-6y-8x+24x=16-21$$

მიუმატეთ 6y -6y-ს. პირობები 6y და -6y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-8x+24x=16-21$$

მიუმატეთ -8x 24x-ს.

$$16x=16-21$$

მიუმატეთ 16 -21-ს.

$$16x=-5$$

ორივე მხარე გაყავით 16-ზე.

$$x=-\frac{5}{16}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5}{16}-ით x აქ: 2y-8x=7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$2y-8\left(-\frac{5}{16}\right)=7$$

გაამრავლეთ -8-ზე -\frac{5}{16}.

$$2y+\frac{5}{2}=7$$

გამოაკელით \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=\frac{9}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=\frac{9}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$