გადაწყვიტეთ {l}{3x-y=4}{x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 4 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y=-\frac{1}{4}=-0.25$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x-y=4,x+y=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x-y=4$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=y+4$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე y+4.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{4+y}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, x+y=1.

$$\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}+y=1$$

მიუმატეთ \frac{y}{3} y-ს.

$$\frac{4}{3}y+\frac{4}{3}=1$$

გამოაკელით \frac{4}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{4}{3}y=-\frac{1}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{4}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{1}{4}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{4}-ით y აქ: x=\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{4}\right)+\frac{4}{3}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -\frac{1}{4} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{1}{12}+\frac{4}{3}$$

მიუმატეთ \frac{4}{3} -\frac{1}{12}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{5}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{1}{4}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x-y=4,x+y=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}\times 4+\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{1}{4}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x-y=4,x+y=1$$

იმისათვის, რომ 3x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$3x-y=4,3x+3y=3$$

გამოაკელით 3x+3y=3 3x-y=4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3x-3x-y-3y=4-3$$

მიუმატეთ 3x -3x-ს. პირობები 3x და -3x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-y-3y=4-3$$

მიუმატეთ -y -3y-ს.

$$-4y=4-3$$

მიუმატეთ 4 -3-ს.

$$-4y=1$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$y=-\frac{1}{4}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{4}-ით y აქ: x+y=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-\frac{1}{4}=1$$

მიუმატეთ \frac{1}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{1}{4}$$