გადაწყვიტეთ {l}{3x-5y=7}{4x+2y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 7 } \\ { 4 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x-5y=7,4x+2y=5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x-5y=7$$

მიუმატეთ 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=5y+7$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+7\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 5y+7.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5y+7}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+2y=5.

$$4\left(\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}\right)+2y=5$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{5y+7}{3}.

$$\frac{20}{3}y+\frac{28}{3}+2y=5$$

მიუმატეთ \frac{20y}{3} 2y-ს.

$$\frac{26}{3}y+\frac{28}{3}=5$$

გამოაკელით \frac{28}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{26}{3}y=-\frac{13}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{26}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{2}-ით y აქ: x=\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{7}{3}$$

გაამრავლეთ \frac{5}{3}-ზე -\frac{1}{2} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{5}{6}+\frac{7}{3}$$

მიუმატეთ \frac{7}{3} -\frac{5}{6}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{3}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x-5y=7,4x+2y=5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{2}{13}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 7+\frac{5}{26}\times 5\\-\frac{2}{13}\times 7+\frac{3}{26}\times 5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x-5y=7,4x+2y=5$$

იმისათვის, რომ 3x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$4\times 3x+4\left(-5\right)y=4\times 7,3\times 4x+3\times 2y=3\times 5$$

გაამარტივეთ.

$$12x-20y=28,12x+6y=15$$

გამოაკელით 12x+6y=15 12x-20y=28-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$12x-12x-20y-6y=28-15$$

მიუმატეთ 12x -12x-ს. პირობები 12x და -12x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-20y-6y=28-15$$

მიუმატეთ -20y -6y-ს.

$$-26y=28-15$$

მიუმატეთ 28 -15-ს.

$$-26y=13$$

ორივე მხარე გაყავით -26-ზე.

$$y=-\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{2}-ით y აქ: 4x+2y=5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+2\left(-\frac{1}{2}\right)=5$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{1}{2}.

$$4x-1=5$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=6$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{3}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}$$