გადაწყვიტეთ {l}{3x-5y=3}{x/2-y/3=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 3 } \\ { \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3x-2y=6$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x-5y=3,3x-2y=6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x-5y=3$$

მიუმატეთ 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=5y+3$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+3\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 5y+3.

$$x=\frac{5}{3}y+1$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5y}{3}+1-ით x მეორე განტოლებაში, 3x-2y=6.

$$3\left(\frac{5}{3}y+1\right)-2y=6$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{5y}{3}+1.

$$5y+3-2y=6$$

მიუმატეთ 5y -2y-ს.

$$3y+3=6$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y=3$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=\frac{5}{3}y+1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{5}{3}+1$$

მიუმატეთ 1 \frac{5}{3}-ს.

$$x=\frac{8}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{8}{3},y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3x-2y=6$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x-5y=3,3x-2y=6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}\times 3+\frac{5}{9}\times 6\\-\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{8}{3},y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3x-2y=6$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x-5y=3,3x-2y=6$$

გამოაკელით 3x-2y=6 3x-5y=3-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3x-3x-5y+2y=3-6$$

მიუმატეთ 3x -3x-ს. პირობები 3x და -3x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-5y+2y=3-6$$

მიუმატეთ -5y 2y-ს.

$$-3y=3-6$$

მიუმატეთ 3 -6-ს.

$$-3y=-3$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: 3x-2y=6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-2=6$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=8$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{8}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{8}{3},y=1$$