გადაწყვიტეთ {l}{3x-2y=60}{2x+3y=17.2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 60 } \\ { 2 x + 3 y = 17.2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{1072}{65} = 16\frac{32}{65} \approx 16.492307692$$

$$y = -\frac{342}{65} = -5\frac{17}{65} \approx -5.261538462$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x-2y=60,2x+3y=17.2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x-2y=60$$

მიუმატეთ 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=2y+60$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+60\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 60+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+20$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2y}{3}+20-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+3y=17.2.

$$2\left(\frac{2}{3}y+20\right)+3y=17.2$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{2y}{3}+20.

$$\frac{4}{3}y+40+3y=17.2$$

მიუმატეთ \frac{4y}{3} 3y-ს.

$$\frac{13}{3}y+40=17.2$$

გამოაკელით 40 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{13}{3}y=-22.8$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{13}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{342}{65}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{342}{65}-ით y აქ: x=\frac{2}{3}y+20. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{342}{65}\right)+20$$

გაამრავლეთ \frac{2}{3}-ზე -\frac{342}{65} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{228}{65}+20$$

მიუმატეთ 20 -\frac{228}{65}-ს.

$$x=\frac{1072}{65}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1072}{65},y=-\frac{342}{65}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x-2y=60,2x+3y=17.2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 60+\frac{2}{13}\times 17.2\\-\frac{2}{13}\times 60+\frac{3}{13}\times 17.2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1072}{65}\\-\frac{342}{65}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{1072}{65},y=-\frac{342}{65}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x-2y=60,2x+3y=17.2$$

იმისათვის, რომ 3x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 60,3\times 2x+3\times 3y=3\times 17.2$$

გაამარტივეთ.

$$6x-4y=120,6x+9y=51.6$$

გამოაკელით 6x+9y=51.6 6x-4y=120-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x-4y-9y=120-51.6$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-4y-9y=120-51.6$$

მიუმატეთ -4y -9y-ს.

$$-13y=120-51.6$$

მიუმატეთ 120 -51.6-ს.

$$-13y=68.4$$

ორივე მხარე გაყავით -13-ზე.

$$y=-\frac{342}{65}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{342}{65}-ით y აქ: 2x+3y=17.2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+3\left(-\frac{342}{65}\right)=17.2$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{342}{65}.

$$2x-\frac{1026}{65}=17.2$$

მიუმატეთ \frac{1026}{65} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=\frac{2144}{65}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1072}{65}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1072}{65},y=-\frac{342}{65}$$