გადაწყვიტეთ {l}{3x^2+2y^2=2}{2x+7y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 2 } \\ { 2 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{4}{5}=0.8\text{, }y=\frac{1}{5}=0.2$$

$$x=-\frac{20}{31}\approx -0.64516129\text{, }y=\frac{19}{31}\approx 0.612903226$$

ეტაპები ჩანაცვლების და კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+7y=3,2y^{2}+3x^{2}=2$$

ამოხსენით 2x+7y=3 x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+7y=3$$

გამოაკელით 7y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-7y+3$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{7}{2}y+\frac{3}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 2y^{2}+3x^{2}=2.

$$2y^{2}+3\left(-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2}\right)^{2}=2$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{7}{2}y+\frac{3}{2}.

$$2y^{2}+3\left(\frac{49}{4}y^{2}-\frac{21}{2}y+\frac{9}{4}\right)=2$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{49}{4}y^{2}-\frac{21}{2}y+\frac{9}{4}.

$$2y^{2}+\frac{147}{4}y^{2}-\frac{63}{2}y+\frac{27}{4}=2$$

მიუმატეთ 2y^{2} \frac{147}{4}y^{2}-ს.

$$\frac{155}{4}y^{2}-\frac{63}{2}y+\frac{27}{4}=2$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{155}{4}y^{2}-\frac{63}{2}y+\frac{19}{4}=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2+3\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}-ით a, 3\times \frac{3}{2}\left(-\frac{7}{2}\right)\times 2-ით b და \frac{19}{4}-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{63}{2}\right)^{2}-4\times \frac{155}{4}\times \frac{19}{4}}}{2\times \frac{155}{4}}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3\times \frac{3}{2}\left(-\frac{7}{2}\right)\times 2.

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±\sqrt{\frac{3969}{4}-4\times \frac{155}{4}\times \frac{19}{4}}}{2\times \frac{155}{4}}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2+3\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±\sqrt{\frac{3969}{4}-155\times \frac{19}{4}}}{2\times \frac{155}{4}}$$

გაამრავლეთ -155-ზე \frac{19}{4}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±\sqrt{\frac{3969-2945}{4}}}{2\times \frac{155}{4}}$$

მიუმატეთ \frac{3969}{4} -\frac{2945}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±\sqrt{256}}{2\times \frac{155}{4}}$$

აიღეთ 256-ის კვადრატული ფესვი.

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±16}{2\times \frac{155}{4}}$$

3\times \frac{3}{2}\left(-\frac{7}{2}\right)\times 2-ის საპირისპიროა \frac{63}{2}.

$$y=\frac{\frac{63}{2}±16}{2\times \frac{155}{4}}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2+3\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}.

$$y=\frac{\frac{63}{2}±16}{\frac{155}{2}}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{\frac{63}{2}±16}{\frac{155}{2}} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ \frac{63}{2} 16-ს.

$$y=\frac{\frac{95}{2}}{\frac{155}{2}}$$

გაყავით \frac{95}{2} \frac{155}{2}-ზე \frac{95}{2}-ის გამრავლებით \frac{155}{2}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{19}{31}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{\frac{63}{2}±16}{\frac{155}{2}} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 16 \frac{63}{2}-ს.

$$y=\frac{\frac{31}{2}}{\frac{155}{2}}$$

გაყავით \frac{31}{2} \frac{155}{2}-ზე \frac{31}{2}-ის გამრავლებით \frac{155}{2}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{1}{5}$$

არსებობს y-ის ორი ამონახსნი: \frac{19}{31} და \frac{1}{5}. ჩაანაცვლეთ \frac{19}{31}-ით y განტოლებაში x=-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2}, რათა იპოვოთ x-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{19}{31}+\frac{3}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{7}{2}-ზე \frac{19}{31} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{133}{62}+\frac{3}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{7}{2}\times \frac{19}{31} \frac{3}{2}-ს.

$$x=-\frac{20}{31}$$

ახლა ჩაანაცვლეთ \frac{1}{5}-ით y განტოლებაში x=-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2} და ამოხსენით, რათა იპოვოთ x-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{1}{5}+\frac{3}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{7}{2}-ზე \frac{1}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{7}{10}+\frac{3}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{7}{2}\times \frac{1}{5} \frac{3}{2}-ს.

$$x=\frac{4}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{20}{31},y=\frac{19}{31}\text{ or }x=\frac{4}{5},y=\frac{1}{5}$$