გადაწყვიტეთ {l}{3x=2y}{5x+4y=2200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x = 2 y } \\ { 5 x + 4 y = 2200 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=200$$

$$y=300$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$3x-2y=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x-2y=0,5x+4y=2200$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x-2y=0$$

მიუმატეთ 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=2y$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\times 2y$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 2y.

$$x=\frac{2}{3}y$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2y}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 5x+4y=2200.

$$5\times \frac{2}{3}y+4y=2200$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{2y}{3}.

$$\frac{10}{3}y+4y=2200$$

მიუმატეთ \frac{10y}{3} 4y-ს.

$$\frac{22}{3}y=2200$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{22}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=300$$

ჩაანაცვლეთ 300-ით y აქ: x=\frac{2}{3}y. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{2}{3}\times 300$$

გაამრავლეთ \frac{2}{3}-ზე 300.

$$x=200$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=200,y=300$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$3x-2y=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x-2y=0,5x+4y=2200$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\times 4-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 2200\\\frac{3}{22}\times 2200\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\300\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=200,y=300$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$3x-2y=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x-2y=0,5x+4y=2200$$

იმისათვის, რომ 3x და 5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=0,3\times 5x+3\times 4y=3\times 2200$$

გაამარტივეთ.

$$15x-10y=0,15x+12y=6600$$

გამოაკელით 15x+12y=6600 15x-10y=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$15x-15x-10y-12y=-6600$$

მიუმატეთ 15x -15x-ს. პირობები 15x და -15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-10y-12y=-6600$$

მიუმატეთ -10y -12y-ს.

$$-22y=-6600$$

ორივე მხარე გაყავით -22-ზე.

$$y=300$$

ჩაანაცვლეთ 300-ით y აქ: 5x+4y=2200. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$5x+4\times 300=2200$$

გაამრავლეთ 4-ზე 300.

$$5x+1200=2200$$

გამოაკელით 1200 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=1000$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=200$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=200,y=300$$