გადაწყვიტეთ {l}{3x+y=5}{2x-2y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 2 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+y=5,2x-2y=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+y=5$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-y+5$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y+5}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x-2y=2.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)-2y=2$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{-y+5}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-2y=2$$

მიუმატეთ -\frac{2y}{3} -2y-ს.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{10}{3}=2$$

გამოაკელით \frac{10}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{8}{3}y=-\frac{4}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{8}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{2}-ით y აქ: x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{5}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{3}-ზე \frac{1}{2} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{1}{6}+\frac{5}{3}$$

მიუმატეთ \frac{5}{3} -\frac{1}{6}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{3}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+y=5,2x-2y=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&1\\2&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-2\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-2\right)-2}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{8}\times 2\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{3}{8}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+y=5,2x-2y=2$$

იმისათვის, რომ 3x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$2\times 3x+2y=2\times 5,3\times 2x+3\left(-2\right)y=3\times 2$$

გაამარტივეთ.

$$6x+2y=10,6x-6y=6$$

გამოაკელით 6x-6y=6 6x+2y=10-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x+2y+6y=10-6$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2y+6y=10-6$$

მიუმატეთ 2y 6y-ს.

$$8y=10-6$$

მიუმატეთ 10 -6-ს.

$$8y=4$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$y=\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{2}-ით y აქ: 2x-2y=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x-2\times \frac{1}{2}=2$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{1}{2}.

$$2x-1=2$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=3$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{3}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$$