გადაწყვიტეთ {l}{3x+y=2}{5x-y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 2 } \\ { 5 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+y=2$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-y+2$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+2\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -y+2.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y+2}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 5x-y=8.

$$5\left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=8$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{-y+2}{3}.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}-y=8$$

მიუმატეთ -\frac{5y}{3} -y-ს.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{10}{3}=8$$

გამოაკელით \frac{10}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{8}{3}y=\frac{14}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{8}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{7}{4}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{7}{4}-ით y აქ: x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{7}{4}\right)+\frac{2}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{3}-ზე -\frac{7}{4} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{7}{12}+\frac{2}{3}$$

მიუმატეთ \frac{2}{3} \frac{7}{12}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{5}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-5}&\frac{3}{3\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 2+\frac{1}{8}\times 8\\\frac{5}{8}\times 2-\frac{3}{8}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\-\frac{7}{4}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

იმისათვის, რომ 3x და 5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$5\times 3x+5y=5\times 2,3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 8$$

გაამარტივეთ.

$$15x+5y=10,15x-3y=24$$

გამოაკელით 15x-3y=24 15x+5y=10-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$15x-15x+5y+3y=10-24$$

მიუმატეთ 15x -15x-ს. პირობები 15x და -15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$5y+3y=10-24$$

მიუმატეთ 5y 3y-ს.

$$8y=10-24$$

მიუმატეთ 10 -24-ს.

$$8y=-14$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$y=-\frac{7}{4}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{7}{4}-ით y აქ: 5x-y=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$5x-\left(-\frac{7}{4}\right)=8$$

გამოაკელით \frac{7}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=\frac{25}{4}$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{5}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$