გადაწყვიტეთ {l}{3x+y=11}{-4x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 11 } \\ { - 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-22$$

$$y=77$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+y=11$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-y+11$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+11\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -y+11.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y+11}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, -4x-y=11.

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)-y=11$$

გაამრავლეთ -4-ზე \frac{-y+11}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{44}{3}-y=11$$

მიუმატეთ \frac{4y}{3} -y-ს.

$$\frac{1}{3}y-\frac{44}{3}=11$$

მიუმატეთ \frac{44}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{3}y=\frac{77}{3}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$y=77$$

ჩაანაცვლეთ 77-ით y აქ: x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{3}\times 77+\frac{11}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{3}-ზე 77.

$$x=\frac{-77+11}{3}$$

მიუმატეთ \frac{11}{3} -\frac{77}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-22$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-22,y=77$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11-11\\4\times 11+3\times 11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\77\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-22,y=77$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

იმისათვის, რომ 3x და -4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$-4\times 3x-4y=-4\times 11,3\left(-4\right)x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

გაამარტივეთ.

$$-12x-4y=-44,-12x-3y=33$$

გამოაკელით -12x-3y=33 -12x-4y=-44-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-12x+12x-4y+3y=-44-33$$

მიუმატეთ -12x 12x-ს. პირობები -12x და 12x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-4y+3y=-44-33$$

მიუმატეთ -4y 3y-ს.

$$-y=-44-33$$

მიუმატეთ -44 -33-ს.

$$-y=-77$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=77$$

ჩაანაცვლეთ 77-ით y აქ: -4x-y=11. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-4x-77=11$$

მიუმატეთ 77 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4x=88$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$x=-22$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-22,y=77$$