გადაწყვიტეთ {l}{3x+6y=24}{9x+5y=68}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 24 } \\ { 9 x + 5 y = 68 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{96}{13} = 7\frac{5}{13} \approx 7.384615385$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+6y=24$$

გამოაკელით 6y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-6y+24$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+24\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -6y+24.

$$x=-2y+8$$

ჩაანაცვლეთ -2y+8-ით x მეორე განტოლებაში, 9x+5y=68.

$$9\left(-2y+8\right)+5y=68$$

გაამრავლეთ 9-ზე -2y+8.

$$-18y+72+5y=68$$

მიუმატეთ -18y 5y-ს.

$$-13y+72=68$$

გამოაკელით 72 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-13y=-4$$

ორივე მხარე გაყავით -13-ზე.

$$y=\frac{4}{13}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{4}{13}-ით y აქ: x=-2y+8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-2\times \frac{4}{13}+8$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{4}{13}.

$$x=-\frac{8}{13}+8$$

მიუმატეთ 8 -\frac{8}{13}-ს.

$$x=\frac{96}{13}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{3\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{3\times 5-6\times 9}&\frac{3}{3\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}\times 24+\frac{2}{13}\times 68\\\frac{3}{13}\times 24-\frac{1}{13}\times 68\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

იმისათვის, რომ 3x და 9x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 9-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$9\times 3x+9\times 6y=9\times 24,3\times 9x+3\times 5y=3\times 68$$

გაამარტივეთ.

$$27x+54y=216,27x+15y=204$$

გამოაკელით 27x+15y=204 27x+54y=216-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$27x-27x+54y-15y=216-204$$

მიუმატეთ 27x -27x-ს. პირობები 27x და -27x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$54y-15y=216-204$$

მიუმატეთ 54y -15y-ს.

$$39y=216-204$$

მიუმატეთ 216 -204-ს.

$$39y=12$$

ორივე მხარე გაყავით 39-ზე.

$$y=\frac{4}{13}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{4}{13}-ით y აქ: 9x+5y=68. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$9x+5\times \frac{4}{13}=68$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{4}{13}.

$$9x+\frac{20}{13}=68$$

გამოაკელით \frac{20}{13} განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x=\frac{864}{13}$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$x=\frac{96}{13}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$