გადაწყვიტეთ {l}{3x+5y=4}{-3x+4y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { - 3 x + 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{13}{9} = -1\frac{4}{9} \approx -1.444444444$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+5y=4$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-5y+4$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -5y+4.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-5y+4}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, -3x+4y=11.

$$-3\left(-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)+4y=11$$

გაამრავლეთ -3-ზე \frac{-5y+4}{3}.

$$5y-4+4y=11$$

მიუმატეთ 5y 4y-ს.

$$9y-4=11$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9y=15$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$y=\frac{5}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5}{3}-ით y აქ: x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{3}+\frac{4}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{3}-ზე \frac{5}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{25}{9}+\frac{4}{3}$$

მიუმატეთ \frac{4}{3} -\frac{25}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-\frac{13}{9}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{3\times 4-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-5\left(-3\right)}&\frac{3}{3\times 4-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}&-\frac{5}{27}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}\times 4-\frac{5}{27}\times 11\\\frac{1}{9}\times 4+\frac{1}{9}\times 11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{9}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

იმისათვის, რომ 3x და -3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$-3\times 3x-3\times 5y=-3\times 4,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 11$$

გაამარტივეთ.

$$-9x-15y=-12,-9x+12y=33$$

გამოაკელით -9x+12y=33 -9x-15y=-12-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-9x+9x-15y-12y=-12-33$$

მიუმატეთ -9x 9x-ს. პირობები -9x და 9x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-15y-12y=-12-33$$

მიუმატეთ -15y -12y-ს.

$$-27y=-12-33$$

მიუმატეთ -12 -33-ს.

$$-27y=-45$$

ორივე მხარე გაყავით -27-ზე.

$$y=\frac{5}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5}{3}-ით y აქ: -3x+4y=11. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-3x+4\times \frac{5}{3}=11$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{5}{3}.

$$-3x+\frac{20}{3}=11$$

გამოაკელით \frac{20}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x=\frac{13}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=-\frac{13}{9}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$