გადაწყვიტეთ {l}{3x+5y=1}{2x-3y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 1 } \\ { 2 x - 3 y = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{3}{19}\approx 0.157894737$$

$$y=\frac{2}{19}\approx 0.105263158$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+5y=1$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-5y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -5y+1.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-5y+1}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x-3y=0.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}\right)-3y=0$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{-5y+1}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{2}{3}-3y=0$$

მიუმატეთ -\frac{10y}{3} -3y-ს.

$$-\frac{19}{3}y+\frac{2}{3}=0$$

გამოაკელით \frac{2}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{19}{3}y=-\frac{2}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{19}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{2}{19}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2}{19}-ით y აქ: x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{2}{19}+\frac{1}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{3}-ზე \frac{2}{19} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{10}{57}+\frac{1}{3}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} -\frac{10}{57}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{3}{19}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-3\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{2}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\\\frac{2}{19}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

იმისათვის, რომ 3x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$2\times 3x+2\times 5y=2,3\times 2x+3\left(-3\right)y=0$$

გაამარტივეთ.

$$6x+10y=2,6x-9y=0$$

გამოაკელით 6x-9y=0 6x+10y=2-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x+10y+9y=2$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$10y+9y=2$$

მიუმატეთ 10y 9y-ს.

$$19y=2$$

ორივე მხარე გაყავით 19-ზე.

$$y=\frac{2}{19}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2}{19}-ით y აქ: 2x-3y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x-3\times \frac{2}{19}=0$$

გაამრავლეთ -3-ზე \frac{2}{19}.

$$2x-\frac{6}{19}=0$$

მიუმატეთ \frac{6}{19} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=\frac{6}{19}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{3}{19}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$