გადაწყვიტეთ {l}{3x+4y=5}{5x+5y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 5 } \\ { 5 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+4y=5$$

გამოაკელით 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-4y+5$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -4y+5.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-4y+5}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 5x+5y=7.

$$5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}\right)+5y=7$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{-4y+5}{3}.

$$-\frac{20}{3}y+\frac{25}{3}+5y=7$$

მიუმატეთ -\frac{20y}{3} 5y-ს.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{25}{3}=7$$

გამოაკელით \frac{25}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{5}{3}y=-\frac{4}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{5}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{4}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{4}{5}-ით y აქ: x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{4}{5}+\frac{5}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{4}{3}-ზე \frac{4}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{16}{15}+\frac{5}{3}$$

მიუმატეთ \frac{5}{3} -\frac{16}{15}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{3}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-4\times 5}&-\frac{4}{3\times 5-4\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-4\times 5}&\frac{3}{3\times 5-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{4}{5}\\1&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5+\frac{4}{5}\times 7\\5-\frac{3}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

იმისათვის, რომ 3x და 5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$5\times 3x+5\times 4y=5\times 5,3\times 5x+3\times 5y=3\times 7$$

გაამარტივეთ.

$$15x+20y=25,15x+15y=21$$

გამოაკელით 15x+15y=21 15x+20y=25-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$15x-15x+20y-15y=25-21$$

მიუმატეთ 15x -15x-ს. პირობები 15x და -15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$20y-15y=25-21$$

მიუმატეთ 20y -15y-ს.

$$5y=25-21$$

მიუმატეთ 25 -21-ს.

$$5y=4$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$y=\frac{4}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{4}{5}-ით y აქ: 5x+5y=7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$5x+5\times \frac{4}{5}=7$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{4}{5}.

$$5x+4=7$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=3$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{3}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$