გადაწყვიტეთ {l}{3x+2y-7=0}{x-5y+9=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y - 7 = 0 } \\ { x - 5 y + 9 = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+2y-7=0,x-5y+9=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+2y-7=0$$

მიუმატეთ 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x+2y=7$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-2y+7$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-2y+7}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, x-5y+9=0.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}-5y+9=0$$

მიუმატეთ -\frac{2y}{3} -5y-ს.

$$-\frac{17}{3}y+\frac{7}{3}+9=0$$

მიუმატეთ \frac{7}{3} 9-ს.

$$-\frac{17}{3}y+\frac{34}{3}=0$$

გამოაკელით \frac{34}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{17}{3}y=-\frac{34}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{17}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{7}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{3}-ზე 2.

$$x=\frac{-4+7}{3}$$

მიუმატეთ \frac{7}{3} -\frac{4}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+2y-7=0,x-5y+9=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-2}&-\frac{2}{3\left(-5\right)-2}\\-\frac{1}{3\left(-5\right)-2}&\frac{3}{3\left(-5\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{1}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\times 7+\frac{2}{17}\left(-9\right)\\\frac{1}{17}\times 7-\frac{3}{17}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+2y-7=0,x-5y+9=0$$

იმისათვის, რომ 3x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$3x+2y-7=0,3x+3\left(-5\right)y+3\times 9=0$$

გაამარტივეთ.

$$3x+2y-7=0,3x-15y+27=0$$

გამოაკელით 3x-15y+27=0 3x+2y-7=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3x-3x+2y+15y-7-27=0$$

მიუმატეთ 3x -3x-ს. პირობები 3x და -3x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2y+15y-7-27=0$$

მიუმატეთ 2y 15y-ს.

$$17y-7-27=0$$

მიუმატეთ -7 -27-ს.

$$17y-34=0$$

მიუმატეთ 34 განტოლების ორივე მხარეს.

$$17y=34$$

ორივე მხარე გაყავით 17-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x-5y+9=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-5\times 2+9=0$$

გაამრავლეთ -5-ზე 2.

$$x-10+9=0$$

მიუმატეთ -10 9-ს.

$$x-1=0$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=2$$