გადაწყვიტეთ {l}{3x+2y=4}{6x-2y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 4 } \\ { 6 x - 2 y = - 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+2y=4,6x-2y=-1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+2y=4$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-2y+4$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -2y+4.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-2y+4}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 6x-2y=-1.

$$6\left(-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=-1$$

გაამრავლეთ 6-ზე \frac{-2y+4}{3}.

$$-4y+8-2y=-1$$

მიუმატეთ -4y -2y-ს.

$$-6y+8=-1$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-6y=-9$$

ორივე მხარე გაყავით -6-ზე.

$$y=\frac{3}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3}{2}-ით y აქ: x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{3}{2}+\frac{4}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{3}-ზე \frac{3}{2} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-1+\frac{4}{3}$$

მიუმატეთ \frac{4}{3} -1-ს.

$$x=\frac{1}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{3}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+2y=4,6x-2y=-1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 6}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{3\left(-2\right)-2\times 6}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 4+\frac{1}{9}\left(-1\right)\\\frac{1}{3}\times 4-\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{3}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+2y=4,6x-2y=-1$$

იმისათვის, რომ 3x და 6x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$6\times 3x+6\times 2y=6\times 4,3\times 6x+3\left(-2\right)y=3\left(-1\right)$$

გაამარტივეთ.

$$18x+12y=24,18x-6y=-3$$

გამოაკელით 18x-6y=-3 18x+12y=24-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$18x-18x+12y+6y=24+3$$

მიუმატეთ 18x -18x-ს. პირობები 18x და -18x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$12y+6y=24+3$$

მიუმატეთ 12y 6y-ს.

$$18y=24+3$$

მიუმატეთ 24 3-ს.

$$18y=27$$

ორივე მხარე გაყავით 18-ზე.

$$y=\frac{3}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3}{2}-ით y აქ: 6x-2y=-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$6x-2\times \frac{3}{2}=-1$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{3}{2}.

$$6x-3=-1$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=2$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{1}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{3}{2}$$