გადაწყვიტეთ {l}{3m+4n=7}{4m-3n-1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 m + 4 n = 7 } \\ { 4 m - 3 n - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა m, n-ისთვის

$$m=1$$

$$n=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი m-ისთვის, m-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3m+4n=7$$

გამოაკელით 4n განტოლების ორივე მხარეს.

$$3m=-4n+7$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$m=\frac{1}{3}\left(-4n+7\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -4n+7.

$$m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-4n+7}{3}-ით m მეორე განტოლებაში, 4m-3n-1=0.

$$4\left(-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}\right)-3n-1=0$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{-4n+7}{3}.

$$-\frac{16}{3}n+\frac{28}{3}-3n-1=0$$

მიუმატეთ -\frac{16n}{3} -3n-ს.

$$-\frac{25}{3}n+\frac{28}{3}-1=0$$

მიუმატეთ \frac{28}{3} -1-ს.

$$-\frac{25}{3}n+\frac{25}{3}=0$$

გამოაკელით \frac{25}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{25}{3}n=-\frac{25}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{25}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$n=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით n აქ: m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$m=\frac{-4+7}{3}$$

მიუმატეთ \frac{7}{3} -\frac{4}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$m=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=1,n=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}&-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 7+\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}\times 7-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - m და n.

$$m=1,n=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

იმისათვის, რომ 3m და 4m ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$4\times 3m+4\times 4n=4\times 7,3\times 4m+3\left(-3\right)n+3\left(-1\right)=0$$

გაამარტივეთ.

$$12m+16n=28,12m-9n-3=0$$

გამოაკელით 12m-9n-3=0 12m+16n=28-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$12m-12m+16n+9n+3=28$$

მიუმატეთ 12m -12m-ს. პირობები 12m და -12m გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$16n+9n+3=28$$

მიუმატეთ 16n 9n-ს.

$$25n+3=28$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$25n=25$$

ორივე მხარე გაყავით 25-ზე.

$$n=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით n აქ: 4m-3n-1=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$4m-3-1=0$$

მიუმატეთ -3 -1-ს.

$$4m-4=0$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4m=4$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$m=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=1,n=1$$