გადაწყვიტეთ {l}{3a+7b=44}{-5a+6b=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 7 b = 44 } \\ { - 5 a + 6 b = 15 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a=3$$

$$b=5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3a+7b=44,-5a+6b=15$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3a+7b=44$$

გამოაკელით 7b განტოლების ორივე მხარეს.

$$3a=-7b+44$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$a=\frac{1}{3}\left(-7b+44\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -7b+44.

$$a=-\frac{7}{3}b+\frac{44}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-7b+44}{3}-ით a მეორე განტოლებაში, -5a+6b=15.

$$-5\left(-\frac{7}{3}b+\frac{44}{3}\right)+6b=15$$

გაამრავლეთ -5-ზე \frac{-7b+44}{3}.

$$\frac{35}{3}b-\frac{220}{3}+6b=15$$

მიუმატეთ \frac{35b}{3} 6b-ს.

$$\frac{53}{3}b-\frac{220}{3}=15$$

მიუმატეთ \frac{220}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{53}{3}b=\frac{265}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{53}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$b=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით b აქ: a=-\frac{7}{3}b+\frac{44}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=-\frac{7}{3}\times 5+\frac{44}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{7}{3}-ზე 5.

$$a=\frac{-35+44}{3}$$

მიუმატეთ \frac{44}{3} -\frac{35}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$a=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=3,b=5$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3a+7b=44,-5a+6b=15$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-7\left(-5\right)}&-\frac{7}{3\times 6-7\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3\times 6-7\left(-5\right)}&\frac{3}{3\times 6-7\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{53}&-\frac{7}{53}\\\frac{5}{53}&\frac{3}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{53}\times 44-\frac{7}{53}\times 15\\\frac{5}{53}\times 44+\frac{3}{53}\times 15\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=3,b=5$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3a+7b=44,-5a+6b=15$$

იმისათვის, რომ 3a და -5a ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$-5\times 3a-5\times 7b=-5\times 44,3\left(-5\right)a+3\times 6b=3\times 15$$

გაამარტივეთ.

$$-15a-35b=-220,-15a+18b=45$$

გამოაკელით -15a+18b=45 -15a-35b=-220-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-15a+15a-35b-18b=-220-45$$

მიუმატეთ -15a 15a-ს. პირობები -15a და 15a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-35b-18b=-220-45$$

მიუმატეთ -35b -18b-ს.

$$-53b=-220-45$$

მიუმატეთ -220 -45-ს.

$$-53b=-265$$

ორივე მხარე გაყავით -53-ზე.

$$b=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით b აქ: -5a+6b=15. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$-5a+6\times 5=15$$

გაამრავლეთ 6-ზე 5.

$$-5a+30=15$$

გამოაკელით 30 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5a=-15$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$a=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=3,b=5$$