გადაწყვიტეთ {l}{3a+4c=1}{2a-c=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 4 c = 1 } \\ { 2 a - c = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, c-ისთვის

$$a=\frac{1}{11}\approx 0.090909091$$

$$c=\frac{2}{11}\approx 0.181818182$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3a+4c=1,2a-c=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3a+4c=1$$

გამოაკელით 4c განტოლების ორივე მხარეს.

$$3a=-4c+1$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$a=\frac{1}{3}\left(-4c+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -4c+1.

$$a=-\frac{4}{3}c+\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-4c+1}{3}-ით a მეორე განტოლებაში, 2a-c=0.

$$2\left(-\frac{4}{3}c+\frac{1}{3}\right)-c=0$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{-4c+1}{3}.

$$-\frac{8}{3}c+\frac{2}{3}-c=0$$

მიუმატეთ -\frac{8c}{3} -c-ს.

$$-\frac{11}{3}c+\frac{2}{3}=0$$

გამოაკელით \frac{2}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{11}{3}c=-\frac{2}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{11}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$c=\frac{2}{11}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2}{11}-ით c აქ: a=-\frac{4}{3}c+\frac{1}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=-\frac{4}{3}\times \frac{2}{11}+\frac{1}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{4}{3}-ზე \frac{2}{11} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$a=-\frac{8}{33}+\frac{1}{3}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} -\frac{8}{33}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$a=\frac{1}{11}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{1}{11},c=\frac{2}{11}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3a+4c=1,2a-c=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&4\\2&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-4\times 2}&-\frac{4}{3\left(-1\right)-4\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-4\times 2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{2}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\\\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და c.

$$a=\frac{1}{11},c=\frac{2}{11}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3a+4c=1,2a-c=0$$

იმისათვის, რომ 3a და 2a ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$2\times 3a+2\times 4c=2,3\times 2a+3\left(-1\right)c=0$$

გაამარტივეთ.

$$6a+8c=2,6a-3c=0$$

გამოაკელით 6a-3c=0 6a+8c=2-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6a-6a+8c+3c=2$$

მიუმატეთ 6a -6a-ს. პირობები 6a და -6a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$8c+3c=2$$

მიუმატეთ 8c 3c-ს.

$$11c=2$$

ორივე მხარე გაყავით 11-ზე.

$$c=\frac{2}{11}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2}{11}-ით c აქ: 2a-c=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$2a-\frac{2}{11}=0$$

მიუმატეთ \frac{2}{11} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2a=\frac{2}{11}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$a=\frac{1}{11}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{1}{11},c=\frac{2}{11}$$