გადაწყვიტეთ {l}{3a+14b=4}{13a+19b=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 14 b = 4 } \\ { 13 a + 19 b = 13 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a=\frac{106}{125}=0.848$$

$$b=\frac{13}{125}=0.104$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3a+14b=4$$

გამოაკელით 14b განტოლების ორივე მხარეს.

$$3a=-14b+4$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$a=\frac{1}{3}\left(-14b+4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -14b+4.

$$a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-14b+4}{3}-ით a მეორე განტოლებაში, 13a+19b=13.

$$13\left(-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}\right)+19b=13$$

გაამრავლეთ 13-ზე \frac{-14b+4}{3}.

$$-\frac{182}{3}b+\frac{52}{3}+19b=13$$

მიუმატეთ -\frac{182b}{3} 19b-ს.

$$-\frac{125}{3}b+\frac{52}{3}=13$$

გამოაკელით \frac{52}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{125}{3}b=-\frac{13}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{125}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$b=\frac{13}{125}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{13}{125}-ით b აქ: a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=-\frac{14}{3}\times \frac{13}{125}+\frac{4}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{14}{3}-ზე \frac{13}{125} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$a=-\frac{182}{375}+\frac{4}{3}$$

მიუმატეთ \frac{4}{3} -\frac{182}{375}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$a=\frac{106}{125}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3\times 19-14\times 13}&-\frac{14}{3\times 19-14\times 13}\\-\frac{13}{3\times 19-14\times 13}&\frac{3}{3\times 19-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}&\frac{14}{125}\\\frac{13}{125}&-\frac{3}{125}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}\times 4+\frac{14}{125}\times 13\\\frac{13}{125}\times 4-\frac{3}{125}\times 13\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{106}{125}\\\frac{13}{125}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

იმისათვის, რომ 3a და 13a ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 13-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$13\times 3a+13\times 14b=13\times 4,3\times 13a+3\times 19b=3\times 13$$

გაამარტივეთ.

$$39a+182b=52,39a+57b=39$$

გამოაკელით 39a+57b=39 39a+182b=52-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$39a-39a+182b-57b=52-39$$

მიუმატეთ 39a -39a-ს. პირობები 39a და -39a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$182b-57b=52-39$$

მიუმატეთ 182b -57b-ს.

$$125b=52-39$$

მიუმატეთ 52 -39-ს.

$$125b=13$$

ორივე მხარე გაყავით 125-ზე.

$$b=\frac{13}{125}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{13}{125}-ით b აქ: 13a+19b=13. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$13a+19\times \frac{13}{125}=13$$

გაამრავლეთ 19-ზე \frac{13}{125}.

$$13a+\frac{247}{125}=13$$

გამოაკელით \frac{247}{125} განტოლების ორივე მხარეს.

$$13a=\frac{1378}{125}$$

ორივე მხარე გაყავით 13-ზე.

$$a=\frac{106}{125}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$