გადაწყვიტეთ {l}{3(x-1)=2(y-1)}{4(y-1)=3(x+5)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = 2 ( y - 1 ) } \\ { 4 ( y - 1 ) = 3 ( x + 5 ) } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=7$$

$$y=10$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-1-ზე.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y-1-ზე.

$$3x-3=2y-2$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$3x-3-2y=-2$$

დაამატეთ 3 ორივე მხარეს.

$$3x-2y=-2+3$$

შეკრიბეთ -2 და 3, რათა მიიღოთ 1.

$$3x-2y=1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 y-1-ზე.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+5-ზე.

$$4y-4=3x+15$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$4y-4-3x=15$$

დაამატეთ 4 ორივე მხარეს.

$$4y-3x=15+4$$

შეკრიბეთ 15 და 4, რათა მიიღოთ 19.

$$4y-3x=19$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x-2y=1$$

მიუმატეთ 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=2y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2y+1}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, -3x+4y=19.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=19$$

გაამრავლეთ -3-ზე \frac{2y+1}{3}.

$$-2y-1+4y=19$$

მიუმატეთ -2y 4y-ს.

$$2y-1=19$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=20$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=10$$

ჩაანაცვლეთ 10-ით y აქ: x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{2}{3}\times 10+\frac{1}{3}$$

გაამრავლეთ \frac{2}{3}-ზე 10.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} \frac{20}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=7,y=10$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-1-ზე.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y-1-ზე.

$$3x-3=2y-2$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$3x-3-2y=-2$$

დაამატეთ 3 ორივე მხარეს.

$$3x-2y=-2+3$$

შეკრიბეთ -2 და 3, რათა მიიღოთ 1.

$$3x-2y=1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 y-1-ზე.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+5-ზე.

$$4y-4=3x+15$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$4y-4-3x=15$$

დაამატეთ 4 ორივე მხარეს.

$$4y-3x=15+4$$

შეკრიბეთ 15 და 4, რათა მიიღოთ 19.

$$4y-3x=19$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 19\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=7,y=10$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-1-ზე.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y-1-ზე.

$$3x-3=2y-2$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$3x-3-2y=-2$$

დაამატეთ 3 ორივე მხარეს.

$$3x-2y=-2+3$$

შეკრიბეთ -2 და 3, რათა მიიღოთ 1.

$$3x-2y=1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 y-1-ზე.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+5-ზე.

$$4y-4=3x+15$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$4y-4-3x=15$$

დაამატეთ 4 ორივე მხარეს.

$$4y-3x=15+4$$

შეკრიბეთ 15 და 4, რათა მიიღოთ 19.

$$4y-3x=19$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

იმისათვის, რომ 3x და -3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 19$$

გაამარტივეთ.

$$-9x+6y=-3,-9x+12y=57$$

გამოაკელით -9x+12y=57 -9x+6y=-3-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-9x+9x+6y-12y=-3-57$$

მიუმატეთ -9x 9x-ს. პირობები -9x და 9x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$6y-12y=-3-57$$

მიუმატეთ 6y -12y-ს.

$$-6y=-3-57$$

მიუმატეთ -3 -57-ს.

$$-6y=-60$$

ორივე მხარე გაყავით -6-ზე.

$$y=10$$

ჩაანაცვლეთ 10-ით y აქ: -3x+4y=19. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-3x+4\times 10=19$$

გაამრავლეთ 4-ზე 10.

$$-3x+40=19$$

გამოაკელით 40 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x=-21$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=7,y=10$$