გადაწყვიტეთ {l}{3(x+y)+9=2(x-y)}{2(x+y)=3(x-y)-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 9 = 2 ( x - y ) } \\ { 2 ( x + y ) = 3 ( x - y ) - 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{13}{10} = -1\frac{3}{10} = -1.3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+y-ზე.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-y-ზე.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

დააჯგუფეთ 3x და -2x, რათა მიიღოთ x.

$$x+3y+9=-2y$$

დაამატეთ 2y ორივე მხარეს.

$$x+3y+9+2y=0$$

დააჯგუფეთ 3y და 2y, რათა მიიღოთ 5y.

$$x+5y+9=0$$

გამოაკელით 9 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$x+5y=-9$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+y-ზე.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-y-ზე.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

დააჯგუფეთ 2x და -3x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x+2y=-3y-4$$

დაამატეთ 3y ორივე მხარეს.

$$-x+2y+3y=-4$$

დააჯგუფეთ 2y და 3y, რათა მიიღოთ 5y.

$$-x+5y=-4$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+5y=-9$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-5y-9$$

ჩაანაცვლეთ -5y-9-ით x მეორე განტოლებაში, -x+5y=-4.

$$-\left(-5y-9\right)+5y=-4$$

გაამრავლეთ -1-ზე -5y-9.

$$5y+9+5y=-4$$

მიუმატეთ 5y 5y-ს.

$$10y+9=-4$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$10y=-13$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$y=-\frac{13}{10}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{13}{10}-ით y აქ: x=-5y-9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-5\left(-\frac{13}{10}\right)-9$$

გაამრავლეთ -5-ზე -\frac{13}{10}.

$$x=\frac{13}{2}-9$$

მიუმატეთ -9 \frac{13}{2}-ს.

$$x=-\frac{5}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+y-ზე.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-y-ზე.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

დააჯგუფეთ 3x და -2x, რათა მიიღოთ x.

$$x+3y+9=-2y$$

დაამატეთ 2y ორივე მხარეს.

$$x+3y+9+2y=0$$

დააჯგუფეთ 3y და 2y, რათა მიიღოთ 5y.

$$x+5y+9=0$$

გამოაკელით 9 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$x+5y=-9$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+y-ზე.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-y-ზე.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

დააჯგუფეთ 2x და -3x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x+2y=-3y-4$$

დაამატეთ 3y ორივე მხარეს.

$$-x+2y+3y=-4$$

დააჯგუფეთ 2y და 3y, რათა მიიღოთ 5y.

$$-x+5y=-4$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\left(-1\right)}&-\frac{5}{5-5\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-5\left(-1\right)}&\frac{1}{5-5\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)-\frac{1}{2}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\left(-9\right)+\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{13}{10}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+y-ზე.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-y-ზე.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

დააჯგუფეთ 3x და -2x, რათა მიიღოთ x.

$$x+3y+9=-2y$$

დაამატეთ 2y ორივე მხარეს.

$$x+3y+9+2y=0$$

დააჯგუფეთ 3y და 2y, რათა მიიღოთ 5y.

$$x+5y+9=0$$

გამოაკელით 9 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$x+5y=-9$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+y-ზე.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-y-ზე.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

დააჯგუფეთ 2x და -3x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x+2y=-3y-4$$

დაამატეთ 3y ორივე მხარეს.

$$-x+2y+3y=-4$$

დააჯგუფეთ 2y და 3y, რათა მიიღოთ 5y.

$$-x+5y=-4$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

გამოაკელით -x+5y=-4 x+5y=-9-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$x+x+5y-5y=-9+4$$

მიუმატეთ 5y -5y-ს. პირობები 5y და -5y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$x+x=-9+4$$

მიუმატეთ x x-ს.

$$2x=-9+4$$

მიუმატეთ -9 4-ს.

$$2x=-5$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=-\frac{5}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5}{2}-ით x აქ: -x+5y=-4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$-\left(-\frac{5}{2}\right)+5y=-4$$

გაამრავლეთ -1-ზე -\frac{5}{2}.

$$\frac{5}{2}+5y=-4$$

გამოაკელით \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$5y=-\frac{13}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$y=-\frac{13}{10}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$