გადაწყვიტეთ {l}{3(x+2)=2y}{2cy+5=7x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + 2 ) = 2 y } \\ { 2 c y + 5 = 7 x } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7}$$

$$y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

$$c\neq \frac{7}{3}$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+2-ზე.

$$3x+6=2y$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$3x+6-2y=0$$

გამოაკელით 6 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$3x-2y=-6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 7x ორივე მხარეს.

$$2cy+5-7x=0$$

გამოაკელით 5 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$2cy-7x=-5$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x-2y=-6$$

მიუმატეთ 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=2y-6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -6+2y.

$$x=\frac{2}{3}y-2$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2y}{3}-2-ით x მეორე განტოლებაში, -7x+2cy=-5.

$$-7\left(\frac{2}{3}y-2\right)+2cy=-5$$

გაამრავლეთ -7-ზე \frac{2y}{3}-2.

$$-\frac{14}{3}y+14+2cy=-5$$

მიუმატეთ -\frac{14y}{3} 2cy-ს.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y+14=-5$$

გამოაკელით 14 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y=-19$$

ორივე მხარე გაყავით -\frac{14}{3}+2c-ზე.

$$y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{57}{2\left(-7+3c\right)}-ით y აქ: x=\frac{2}{3}y-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}\right)-2$$

გაამრავლეთ \frac{2}{3}-ზე -\frac{57}{2\left(-7+3c\right)}.

$$x=-\frac{19}{3c-7}-2$$

მიუმატეთ -2 -\frac{19}{-7+3c}-ს.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7},y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+2-ზე.

$$3x+6=2y$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$3x+6-2y=0$$

გამოაკელით 6 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$3x-2y=-6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 7x ორივე მხარეს.

$$2cy+5-7x=0$$

გამოაკელით 5 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$2cy-7x=-5$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2c}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}&\frac{1}{3c-7}\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}&\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}\left(-6\right)+\frac{1}{3c-7}\left(-5\right)\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}\left(-6\right)+\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6c+5}{3c-7}\\-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7},y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+2-ზე.

$$3x+6=2y$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$3x+6-2y=0$$

გამოაკელით 6 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$3x-2y=-6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 7x ორივე მხარეს.

$$2cy+5-7x=0$$

გამოაკელით 5 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$2cy-7x=-5$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

იმისათვის, რომ 3x და -7x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$-7\times 3x-7\left(-2\right)y=-7\left(-6\right),3\left(-7\right)x+3\times 2cy=3\left(-5\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-21x+14y=42,-21x+6cy=-15$$

გამოაკელით -21x+6cy=-15 -21x+14y=42-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-21x+21x+14y+\left(-6c\right)y=42+15$$

მიუმატეთ -21x 21x-ს. პირობები -21x და 21x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$14y+\left(-6c\right)y=42+15$$

მიუმატეთ 14y -6cy-ს.

$$\left(14-6c\right)y=42+15$$

მიუმატეთ 42 15-ს.

$$\left(14-6c\right)y=57$$

ორივე მხარე გაყავით 14-6c-ზე.

$$y=\frac{57}{2\left(7-3c\right)}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{57}{2\left(7-3c\right)}-ით y აქ: -7x+2cy=-5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-7x+2c\times \frac{57}{2\left(7-3c\right)}=-5$$

გაამრავლეთ 2c-ზე \frac{57}{2\left(7-3c\right)}.

$$-7x+\frac{57c}{7-3c}=-5$$

გამოაკელით \frac{57c}{7-3c} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7x=-\frac{7\left(6c+5\right)}{7-3c}$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$x=\frac{6c+5}{7-3c}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{6c+5}{7-3c},y=\frac{57}{2\left(7-3c\right)}$$