გადაწყვიტეთ {l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=-1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 5x-2-ზე.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -7 2y+3-ზე.

$$15x-6-14y-21=2$$

გამოაკელით 21 -6-ს -27-ის მისაღებად.

$$15x-27-14y=2$$

დაამატეთ 27 ორივე მხარეს.

$$15x-14y=2+27$$

შეკრიბეთ 2 და 27, რათა მიიღოთ 29.

$$15x-14y=29$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 3x-y-ზე.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 4-9x-ზე.

$$6x-2y-23=12-27x$$

დაამატეთ 27x ორივე მხარეს.

$$6x-2y-23+27x=12$$

დააჯგუფეთ 6x და 27x, რათა მიიღოთ 33x.

$$33x-2y-23=12$$

დაამატეთ 23 ორივე მხარეს.

$$33x-2y=12+23$$

შეკრიბეთ 12 და 23, რათა მიიღოთ 35.

$$33x-2y=35$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$15x-14y=29$$

მიუმატეთ 14y განტოლების ორივე მხარეს.

$$15x=14y+29$$

ორივე მხარე გაყავით 15-ზე.

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{15}-ზე 14y+29.

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{14y+29}{15}-ით x მეორე განტოლებაში, 33x-2y=35.

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

გაამრავლეთ 33-ზე \frac{14y+29}{15}.

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

მიუმატეთ \frac{154y}{5} -2y-ს.

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

გამოაკელით \frac{319}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{144}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

გაამრავლეთ \frac{14}{15}-ზე -1.

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

მიუმატეთ \frac{29}{15} -\frac{14}{15}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=-1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 5x-2-ზე.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -7 2y+3-ზე.

$$15x-6-14y-21=2$$

გამოაკელით 21 -6-ს -27-ის მისაღებად.

$$15x-27-14y=2$$

დაამატეთ 27 ორივე მხარეს.

$$15x-14y=2+27$$

შეკრიბეთ 2 და 27, რათა მიიღოთ 29.

$$15x-14y=29$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 3x-y-ზე.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 4-9x-ზე.

$$6x-2y-23=12-27x$$

დაამატეთ 27x ორივე მხარეს.

$$6x-2y-23+27x=12$$

დააჯგუფეთ 6x და 27x, რათა მიიღოთ 33x.

$$33x-2y-23=12$$

დაამატეთ 23 ორივე მხარეს.

$$33x-2y=12+23$$

შეკრიბეთ 12 და 23, რათა მიიღოთ 35.

$$33x-2y=35$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=-1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 5x-2-ზე.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -7 2y+3-ზე.

$$15x-6-14y-21=2$$

გამოაკელით 21 -6-ს -27-ის მისაღებად.

$$15x-27-14y=2$$

დაამატეთ 27 ორივე მხარეს.

$$15x-14y=2+27$$

შეკრიბეთ 2 და 27, რათა მიიღოთ 29.

$$15x-14y=29$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 3x-y-ზე.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 4-9x-ზე.

$$6x-2y-23=12-27x$$

დაამატეთ 27x ორივე მხარეს.

$$6x-2y-23+27x=12$$

დააჯგუფეთ 6x და 27x, რათა მიიღოთ 33x.

$$33x-2y-23=12$$

დაამატეთ 23 ორივე მხარეს.

$$33x-2y=12+23$$

შეკრიბეთ 12 და 23, რათა მიიღოთ 35.

$$33x-2y=35$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

იმისათვის, რომ 15x და 33x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 33-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 15-ზე.

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

გაამარტივეთ.

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

გამოაკელით 495x-30y=525 495x-462y=957-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

მიუმატეთ 495x -495x-ს. პირობები 495x და -495x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-462y+30y=957-525$$

მიუმატეთ -462y 30y-ს.

$$-432y=957-525$$

მიუმატეთ 957 -525-ს.

$$-432y=432$$

ორივე მხარე გაყავით -432-ზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: 33x-2y=35. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

გაამრავლეთ -2-ზე -1.

$$33x+2=35$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$33x=33$$

ორივე მხარე გაყავით 33-ზე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=-1$$