გადაწყვიტეთ {l}{25x+35y=16500}{x+y=500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 35 y = 16500 } \\ { x + y = 500 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=100$$

$$y=400$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$25x+35y=16500$$

გამოაკელით 35y განტოლების ორივე მხარეს.

$$25x=-35y+16500$$

ორივე მხარე გაყავით 25-ზე.

$$x=\frac{1}{25}\left(-35y+16500\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{25}-ზე -35y+16500.

$$x=-\frac{7}{5}y+660$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{7y}{5}+660-ით x მეორე განტოლებაში, x+y=500.

$$-\frac{7}{5}y+660+y=500$$

მიუმატეთ -\frac{7y}{5} y-ს.

$$-\frac{2}{5}y+660=500$$

გამოაკელით 660 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{2}{5}y=-160$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{2}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=400$$

ჩაანაცვლეთ 400-ით y აქ: x=-\frac{7}{5}y+660. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{7}{5}\times 400+660$$

გაამრავლეთ -\frac{7}{5}-ზე 400.

$$x=-560+660$$

მიუმატეთ 660 -560-ს.

$$x=100$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=100,y=400$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-35}&-\frac{35}{25-35}\\-\frac{1}{25-35}&\frac{25}{25-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{10}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 16500+\frac{7}{2}\times 500\\\frac{1}{10}\times 16500-\frac{5}{2}\times 500\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\400\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=100,y=400$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

იმისათვის, რომ 25x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 25-ზე.

$$25x+35y=16500,25x+25y=25\times 500$$

გაამარტივეთ.

$$25x+35y=16500,25x+25y=12500$$

გამოაკელით 25x+25y=12500 25x+35y=16500-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$25x-25x+35y-25y=16500-12500$$

მიუმატეთ 25x -25x-ს. პირობები 25x და -25x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$35y-25y=16500-12500$$

მიუმატეთ 35y -25y-ს.

$$10y=16500-12500$$

მიუმატეთ 16500 -12500-ს.

$$10y=4000$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$y=400$$

ჩაანაცვლეთ 400-ით y აქ: x+y=500. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+400=500$$

გამოაკელით 400 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=100$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=100,y=400$$