გადაწყვიტეთ {l}{25x+110y=6100}{x+y=50}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{120}{17} = -7\frac{1}{17} \approx -7.058823529$$

$$y = \frac{970}{17} = 57\frac{1}{17} \approx 57.058823529$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$25x+110y=6100$$

გამოაკელით 110y განტოლების ორივე მხარეს.

$$25x=-110y+6100$$

ორივე მხარე გაყავით 25-ზე.

$$x=\frac{1}{25}\left(-110y+6100\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{25}-ზე -110y+6100.

$$x=-\frac{22}{5}y+244$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{22y}{5}+244-ით x მეორე განტოლებაში, x+y=50.

$$-\frac{22}{5}y+244+y=50$$

მიუმატეთ -\frac{22y}{5} y-ს.

$$-\frac{17}{5}y+244=50$$

გამოაკელით 244 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{17}{5}y=-194$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{17}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{970}{17}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{970}{17}-ით y აქ: x=-\frac{22}{5}y+244. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{22}{5}\times \frac{970}{17}+244$$

გაამრავლეთ -\frac{22}{5}-ზე \frac{970}{17} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{4268}{17}+244$$

მიუმატეთ 244 -\frac{4268}{17}-ს.

$$x=-\frac{120}{17}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-110}&-\frac{110}{25-110}\\-\frac{1}{25-110}&\frac{25}{25-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}&\frac{22}{17}\\\frac{1}{85}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}\times 6100+\frac{22}{17}\times 50\\\frac{1}{85}\times 6100-\frac{5}{17}\times 50\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{120}{17}\\\frac{970}{17}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

იმისათვის, რომ 25x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 25-ზე.

$$25x+110y=6100,25x+25y=25\times 50$$

გაამარტივეთ.

$$25x+110y=6100,25x+25y=1250$$

გამოაკელით 25x+25y=1250 25x+110y=6100-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$25x-25x+110y-25y=6100-1250$$

მიუმატეთ 25x -25x-ს. პირობები 25x და -25x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$110y-25y=6100-1250$$

მიუმატეთ 110y -25y-ს.

$$85y=6100-1250$$

მიუმატეთ 6100 -1250-ს.

$$85y=4850$$

ორივე მხარე გაყავით 85-ზე.

$$y=\frac{970}{17}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{970}{17}-ით y აქ: x+y=50. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+\frac{970}{17}=50$$

გამოაკელით \frac{970}{17} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-\frac{120}{17}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$