გადაწყვიტეთ {l}{20+x+y=115}{11x=8y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 + x + y = 115 } \\ { 11 x = 8 y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=40$$

$$y=55$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 20 ორივე მხარეს.

$$x+y=115-20$$

გამოაკელით 20 115-ს 95-ის მისაღებად.

$$x+y=95$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 8y ორივე მხარეს.

$$11x-8y=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=95$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y+95$$

ჩაანაცვლეთ -y+95-ით x მეორე განტოლებაში, 11x-8y=0.

$$11\left(-y+95\right)-8y=0$$

გაამრავლეთ 11-ზე -y+95.

$$-11y+1045-8y=0$$

მიუმატეთ -11y -8y-ს.

$$-19y+1045=0$$

გამოაკელით 1045 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-19y=-1045$$

ორივე მხარე გაყავით -19-ზე.

$$y=55$$

ჩაანაცვლეთ 55-ით y აქ: x=-y+95. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-55+95$$

მიუმატეთ 95 -55-ს.

$$x=40$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=40,y=55$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 20 ორივე მხარეს.

$$x+y=115-20$$

გამოაკელით 20 115-ს 95-ის მისაღებად.

$$x+y=95$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 8y ორივე მხარეს.

$$11x-8y=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-11}&-\frac{1}{-8-11}\\-\frac{11}{-8-11}&\frac{1}{-8-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{11}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\times 95\\\frac{11}{19}\times 95\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\55\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=40,y=55$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 20 ორივე მხარეს.

$$x+y=115-20$$

გამოაკელით 20 115-ს 95-ის მისაღებად.

$$x+y=95$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 8y ორივე მხარეს.

$$11x-8y=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

იმისათვის, რომ x და 11x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 11-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$11x+11y=11\times 95,11x-8y=0$$

გაამარტივეთ.

$$11x+11y=1045,11x-8y=0$$

გამოაკელით 11x-8y=0 11x+11y=1045-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$11x-11x+11y+8y=1045$$

მიუმატეთ 11x -11x-ს. პირობები 11x და -11x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$11y+8y=1045$$

მიუმატეთ 11y 8y-ს.

$$19y=1045$$

ორივე მხარე გაყავით 19-ზე.

$$y=55$$

ჩაანაცვლეთ 55-ით y აქ: 11x-8y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$11x-8\times 55=0$$

გაამრავლეთ -8-ზე 55.

$$11x-440=0$$

მიუმატეთ 440 განტოლების ორივე მხარეს.

$$11x=440$$

ორივე მხარე გაყავით 11-ზე.

$$x=40$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=40,y=55$$