გადაწყვიტეთ {l}{2y=3x-6}{5x+4y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 6 } \\ { 5 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x = \frac{20}{11} = 1\frac{9}{11} \approx 1.818181818$$

$$y=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$2y-3x=-6$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2y-3x=-6$$

მიუმატეთ 3x განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=3x-6$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3x}{2}-3-ით y მეორე განტოლებაში, 4y+5x=8.

$$4\left(\frac{3}{2}x-3\right)+5x=8$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{3x}{2}-3.

$$6x-12+5x=8$$

მიუმატეთ 6x 5x-ს.

$$11x-12=8$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$11x=20$$

ორივე მხარე გაყავით 11-ზე.

$$x=\frac{20}{11}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{20}{11}-ით x აქ: y=\frac{3}{2}x-3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{20}{11}-3$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე \frac{20}{11} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$y=\frac{30}{11}-3$$

მიუმატეთ -3 \frac{30}{11}-ს.

$$y=-\frac{3}{11}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$2y-3x=-6$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}\left(-6\right)+\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{2}{11}\left(-6\right)+\frac{1}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\\frac{20}{11}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$2y-3x=-6$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

იმისათვის, რომ 2y და 4y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$4\times 2y+4\left(-3\right)x=4\left(-6\right),2\times 4y+2\times 5x=2\times 8$$

გაამარტივეთ.

$$8y-12x=-24,8y+10x=16$$

გამოაკელით 8y+10x=16 8y-12x=-24-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$8y-8y-12x-10x=-24-16$$

მიუმატეთ 8y -8y-ს. პირობები 8y და -8y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-12x-10x=-24-16$$

მიუმატეთ -12x -10x-ს.

$$-22x=-24-16$$

მიუმატეთ -24 -16-ს.

$$-22x=-40$$

ორივე მხარე გაყავით -22-ზე.

$$x=\frac{20}{11}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{20}{11}-ით x აქ: 4y+5x=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$4y+5\times \frac{20}{11}=8$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{20}{11}.

$$4y+\frac{100}{11}=8$$

გამოაკელით \frac{100}{11} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4y=-\frac{12}{11}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$y=-\frac{3}{11}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$